[hdu6989]Didn't I Say to Make My Abilities Average in the Next Life?!

显然问题即求$\frac{\sum_{x\le l\le r\le y}(\max_{l\le i\le r}a_{i}+\min_{l\le i\le r}a_{i})}{(y-x+2)(y-x+1)}$

分母显然是常数，分子中$\max$​和$\min$​是类似地，不妨仅考虑$\sum_{x\le l\le r\le y}\max_{l\le i\le r}a_{i}$

将询问离线，不断增大右端点$r$​，并维护$ans_{i}=\sum_{r'=i}^{r}\max_{i\le j\le r'}a_{j}$​​，那么即对$ans_{i}$​​区间求和

将$ans_{i}$​​​写作$r\cdot max_{i}-sum_{i}$​​​的形式（其中$max_{i}=\max_{i\le j\le r}a_{j}$​），显然可以对两者分别求和​​

下面，考虑从$r-1$​变为$r$​对$(max_{i},sum_{i})$​的影响：

维护一个单调栈（从栈底到栈顶单调递减），假设弹出栈顶元素$x$​​​​​​​，且下一个元素为$y$​​​​​​（若栈为空则$y=0$​​​​​），那么即对区间$(y,x]$​​​​的$max_{i}$​​​​增加$a_{r}-a_{x}$​​​​，$sum_{i}$​​​​增加$(r-1)(a_{r}-a_{x})$​​​​

另外还要维护$r$​​​​​​的答案，即令$(max_{r},sum_{r})=(a_{r},(r-1)a_{r})$​​​​​​

即要支持区间加和区间查询，使用线段树即可，复杂度为$o(n\log n)$​，可以通过

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 200005
 4 #define mod 1000000007
 5 #define ll long long
 6 #define pii pair<int,int>
 7 #define mp make_pair
 8 #define fi first
 9 #define se second
10 #define L (k<<1)
11 #define R (L+1)
12 #define mid (l+r>>1)
13 struct Data{
14     int l,r,id;
15     bool operator < (const Data &k)const{
16         return r<k.r;
17     }
18 }q[N];
19 int t,n,m,inv[N],a[N],mn[N],mx[N],ans[N];
20 pii tag[N<<2],f[N<<2];
21 pii merge(pii x,pii y){
22     return mp((x.fi+y.fi)%mod,(x.se+y.se)%mod);
23 }
24 void upd(int k,int l,int r,pii o){
25     int len=r-l+1;
26     tag[k]=merge(tag[k],o);
27     f[k]=merge(f[k],mp((ll)len*o.fi%mod,(ll)len*o.se%mod));
28 }
29 void down(int k,int l,int r){
30     upd(L,l,mid,tag[k]);
31     upd(R,mid+1,r,tag[k]);
32     tag[k]=mp(0,0);
33 }
34 void build(int k,int l,int r){
35     f[k]=mp(0,0);
36     if (l==r)return;
37     build(L,l,mid);
38     build(R,mid+1,r);
39 }
40 void update(int k,int l,int r,int x,int y,pii z){
41     if ((l>y)||(x>r))return;
42     if ((x<=l)&&(r<=y)){
43         upd(k,l,r,z);
44         return;
45     }
46     down(k,l,r);
47     update(L,l,mid,x,y,z);
48     update(R,mid+1,r,x,y,z);
49     f[k]=merge(f[L],f[R]);
50 }
51 pii query(int k,int l,int r,int x,int y){
52     if ((l>y)||(x>r))return mp(0,0);
53     if ((x<=l)&&(r<=y))return f[k];
54     down(k,l,r);
55     return merge(query(L,l,mid,x,y),query(R,mid+1,r,x,y));
56 }
57 int main(){
58     inv[0]=inv[1]=1;
59     for(int i=2;i<N;i++)inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
60     scanf("%d",&t);
61     while (t--){
62         scanf("%d%d",&n,&m);
63         for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
64         for(int i=1;i<=m;i++){
65             scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
66             q[i].id=i;
67         }
68         sort(q+1,q+m+1);
69         mn[0]=mx[0]=0;
70         memset(tag,0,sizeof(tag));
71         memset(f,0,sizeof(f));
72         for(int i=1,j=1;i<=n;i++){
73             update(1,1,n,i,i,mp(2*a[i]%mod,(ll)2*(i-1)*a[i]%mod));
74             while ((mx[0])&&(a[mx[mx[0]]]<a[i])){
75                 int x=mx[mx[0]],y=mx[--mx[0]];
76                 update(1,1,n,y+1,x,mp((a[i]-a[x]+mod)%mod,(ll)(i-1)*(a[i]-a[x]+mod)%mod));
77             }
78             while ((mn[0])&&(a[mn[mn[0]]]>a[i])){
79                 int x=mn[mn[0]],y=mn[--mn[0]];
80                 update(1,1,n,y+1,x,mp((a[i]-a[x]+mod)%mod,(ll)(i-1)*(a[i]-a[x]+mod)%mod));
81             }
82             mx[++mx[0]]=mn[++mn[0]]=i;
83             while ((j<=m)&&(q[j].r==i)){
84                 pii o=query(1,1,n,q[j].l,i);
85                 ans[q[j].id]=((ll)i*o.fi-o.se+mod)%mod*inv[i-q[j].l+2]%mod*inv[i-q[j].l+1]%mod;
86                 j++;
87             }
88         }
89         for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d\n",ans[i]);
90     }
91     return 0;
92 }