CS229 6.9 Neurons Networks softmax regression

SoftMax回归模型，是logistic回归在多分类问题的推广，即现在logistic回归数据中的标签y不止有0-1两个值，而是可以取k个值，softmax回归对诸如MNIST手写识别库等分类很有用，该问题有0-9 这10个数字，softmax是一种supervised learning方法。

在logistic中，训练集由  个已标记的样本构成： ，其中输入特征（特征向量  的维度为 ，其中  对应截距项 ）， logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 。假设函数(hypothesis function) 如下：

损失函数为负log损失函数：

找到使得损失函数最小时的模型参数  ，带入假设函数即可求解模型。

在softmax回归中，对于训练集 中的类标  可以取  个不同的值（而不是 2 个），即有 (注意不是由0开始), 在MNIST中有K=10个类别。

在softmax回归中，对于输入x，要计算x分别属于每个类别j的概率，即求得x分别属于每一类的概率，因此假设函数要设定为输出一个k维向量，每个维度代表x被分为每个类别的概率，假设函数  形式如下：

请注意 这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。当类别数  时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当  时，softmax 回归的假设函数为：，对该式进行化简得到：

另 来表示，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 ，另一个类别概率的为 ，这与 logistic回归是一致的。

其中  是模型的参数。把参数  表示为矩阵形式有，  是一个  的矩阵，该矩阵是将  按行罗列起来得到的：

有个假设函数（Hypothesis Function），下面来看代价函数，根据代价函数求解出最优参数值带入假设函数即可求得最终的模型，先引入函数，对于该函数有：

值为真的表达式      值为假的表达式 。

举例来说，表达式  的值为1 ，的值为 0 。

则softmax的损失函数为：

当k=2时，即有logistic的形式，下边是推倒：

另上式中的便得到了logistic回归的损失函数。

可以看到，softmax与logistic的损失函数只是k的取值不同而已，且在softmax中将类别x归为类别j的概率为：

.

需要注意的一个问题是softmax回归中的模型参数化问题，即softmax的参数集是“冗余的”。

假设从参数向量  中减去了向量 ，这时，每一个 都变成了 ()。此时假设函数变成了以下的式子：

也就是说，从  中减去  完全不影响假设函数的预测结果，这就说明 Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 ，也就是说如果参数集合  是代价函数  的极小值点，那么 同样也是它的极小值点，其中  可以是任意向量，到底是什么造成的呢？从宏观上可以这么理解，因为此时的损失函数不是严格非凸的，也就是说在局部最小值点附近是一个”平坦”的，所以在这个参数附近的值都是一样的了。平坦假设函数空间的Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题。因此使  最小化的解不是唯一的。但此时  仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。

还有一个值得注意的地方是：当  时，我们总是可以将 替换为（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量 （或者其他  中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的  个参数  （其中 ），我们可以令 ，只优化剩余的  个参数，这样算法依然能够正常工作。比如logistic就是这样的。

在实际应用中，为了使算法看起来更直观更清楚，往往保留所有参数  ，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

目前对损失函数  的最小化还没有封闭解（closed-form），因此使用迭代的方法求解，如（Gradient Descent或者L-BFGS），经过求导，得到的梯度公式：

 本身是一个向量，它的第  个元素  是 对 的第  个分量的偏导数。在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: (）。（ 为方向，a代表在这个方向的步长）

由于参数数量的庞大，所以可能需要权重衰减项来防止过拟合，一般的算法中都会有该项。添加一个权重衰减项  来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：

有了这个权重衰减项以后 ()，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。

为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数  的导数，如下：

通过最小化 ，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

最后一个问题在logistic的文章里提到过，关于分类器选择的问题，是使用logistic建立k个分类器呢，还是直接使用softmax回归，这取决于数据之间是否是互斥的，k-logistic算法可以解决互斥问题，而softmax不可以解决，比如将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。 (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片

考虑到处理的问题的不同，在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。最后补一张k-logistic的图片：