[HNOI/AHOI2018]道路

Description:

W 国的交通呈一棵树的形状。W 国一共有\(n - 1\)个城市和\(n\)个乡村，其中城市从\(1\)到\(n - 1\) 编号，乡村从\(1\)到\(n\)编号，且\(1\)号城市是首都。道路都是单向的，本题中我们只考虑从乡村通往首都的道路网络。对于每一个城市，恰有一条公路和一条铁路通向这座城市。对于城市i， 通向该城市的道路（公路或铁路）的起点，要么是一个乡村，要么是一个编号比\(i\)大的城市。 没有道路通向任何乡村。除了首都以外，从任何城市或乡村出发只有一条道路；首都没有往 外的道路。从任何乡村出发，沿着唯一往外的道路走，总可以到达首都。

W 国的国王小 W 获得了一笔资金，他决定用这笔资金来改善交通。由于资金有限，小 W 只能翻修\(n - 1\)条道路。小 W 决定对每个城市翻修恰好一条通向它的道路，即从公路和铁 路中选择一条并进行翻修。小 W 希望从乡村通向城市可以尽可能地便利，于是根据人口调 查的数据，小 W 对每个乡村制定了三个参数，编号为\(i\)的乡村的三个参数是\(a_i\)，\(b_i\)和\(c_i\)。假设 从编号为\(i\)的乡村走到首都一共需要经过\(x\)条未翻修的公路与\(y\)条未翻修的铁路，那么该乡村 的不便利值为

\[c_i \cdot (a_i + x) \cdot (b_i + y)
\]

在给定的翻修方案下，每个乡村的不便利值相加的和为该翻修方案的不便利值。 翻修\(n - 1\)条道路有很多方案，其中不便利值最小的方案称为最优翻修方案，小 W 自然 希望找到最优翻修方案，请你帮助他求出这个最优翻修方案的不便利值。

Hint:

对于所有的数据，\(n \le 20000\)，\(1 \le a_i,b_i \le 60\)，\(1 \le c_i \le 10^9\)，\(s_i,t_i\)是\([-n,-1] \cup (i,n - 1]\)内的整数，任意乡村可以通过不超过40条道路到达首都。

Solution:

表面上不可做实际上并不难的树型dp

设 \(f[i][j][k]\) 表示在i节点,到根修了j条公路,k条铁路的代价

显然有转移:

\(f[i][j][k]=min(f[ls][j+1][k]+f[rs][j][k],f[ls][j][k],f[rs][j][k+1])\)

可以考虑直接出叶子节点的f值,然后由根的初始状态出发\(f[1][0][0]\),记忆化搜索

但是这题卡空间,但是树的最大深度为40,我们发现一个点只由儿子转移过来,所以只需开一条链的空间大小,详见代码:

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mxn=4e4+5;
int n,m,a[mxn],b[mxn],c[mxn],to[mxn][2];
ll f[105][85][85];

inline int read() {
    char c=getchar(); int x=0,f=1;
    while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15);c=getchar();}
    return x*f;
}
inline int chkmax(int &x,int y) {if(x<y) x=y;}
inline int chkmin(int &x,int y) {if(x>y) x=y;}

struct ed {
    int to,nxt;
}t[mxn<<1];

void dfs(int u,int id,int x,int y)
{
    if(to[u][0]) dfs(to[u][0],id+1,x+1,y);
    if(to[u][1]) dfs(to[u][1],id+2,x,y+1);
    if(u>n) {
        for(int i=0;i<=x;++i)
            for(int j=0;j<=y;++j)
                f[id][i][j]=1ll*c[u]*(a[u]+i)*(b[u]+j);
    }
    else {
        for(int i=0;i<=x;++i)
            for(int j=0;j<=y;++j)
                f[id][i][j]=min(f[id+1][i+1][j]+f[id+2][i][j],f[id+1][i][j]+f[id+2][i][j+1]);
    }
}

int main()
{
    int u,v;
    n=read(); memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i=1;i<n;++i) {
        u=read(); v=read();
        if(u<0) u=-u+n;
        if(v<0) v=-v+n;
        to[i][0]=u; to[i][1]=v;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        a[i+n]=read(),b[i+n]=read(),c[i+n]=read();
    dfs(1,1,0,0);
    printf("%lld",f[1][0][0]);
    return 0;
}