CF327C Magic Five 题解

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前置知识

等比数列求和公式 | 乘法逆元

解法

设 \(lena\) 表示 \(a\) 的长度。

首先，若一个数能被 \(5\) 整除，则该数的末尾一定为 \(0\) 或 \(5\)。故考虑枚举 \(a\) 中所有的 \(0\) 和 \(5\) 的下标，设此下标后面有 \(x\) 个数字，由于 \(s\) 是由 \(a\) 复制 \(k\) 遍形成的，所以此下标的贡献为 \(\begin{aligned}\sum\limits_{i=0}^{k-1}2^{x+i \times lena}=2^x \sum\limits_{i=0}^{k-1} (2^{lena})^i=2^x \dfrac{2^{lena} \times (2^{lena})^{k-1}-(2^{lena})^0}{2^{lena}-1}=2^x \dfrac{(2^{lena})^{k}-1}{2^{lena}-1} \end{aligned}\)。对于分母中的 \(2^{lena}-1\) 处理其逆元即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define sort stable_sort
#define endl '\n'
char a[100002];
ll qpow(ll a,ll b,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=ans*a%p;
        }
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return ans%p;
}
int main()
{
    ll k,lena,i,ans=0,num,sum,p=1000000007;
    cin>>(a+1)>>k;
    lena=strlen(a+1);
    num=qpow(2,lena,p);
    sum=(qpow(num,k,p)-1+p)*qpow(num-1,p-2,p)%p;
    for(i=lena;i>=1;i--)
    {
        if(a[i]=='0'||a[i]=='5')
        {
            ans=(ans+qpow(2,i-1,p)*sum%p)%p;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}