[SDOi2012]Longge的问题 (数论)

Luogu2303 [SDOi2012]Longge的问题

题目

题目背景

SDOi2012

题目描述

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出

\[\sum_{i=1}^{n}GCD(i,n)
\]

输入输出格式

输入格式：

一个整数，为N。

输出格式：

一个整数，为所求的答案。

输入输出样例

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6

输出样例#1： 复制

15

说明

对于60%的数据，\(0<N<=2^{16}\)

对于100%的数据，\(0<N<=2^{32}\)

题解

显然直接枚举会超时.

但有60分可得.

考虑换个枚举点.

可能成为GCD(i,n)的数就是n的因子.

\(\sqrt n\)的枚举n的因子.

然后求

\(\sum_x\sum_{i=1}^nGCD(i,n)== x\)

前半部枚举,考虑如何处理后半部分.

\[\sum_{i=1}^{n} GCD(i,n)==x
\]

\[\sum_{i=1}^{n/x} GCD(i,n/x) == 1
\]

看出这就是求\(\phi {x}\)

然后直接求就好.

时间复杂度:\(O(因子个数*\sqrt n)\)

CODE:

// luogu-judger-enable-o2
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define ll long long 

ll phi(ll x)
{
    ll ans = x,qwq = sqrt(x);
    for(ll i = 2;i <= qwq;++i)
        if(x % i == 0)
        {
            ans = ans - ans / i;
            while(x % i == 0)  x /= i;
        }
    if(x > 1)  ans = ans - ans / x;
    return ans;
}  

int main() {
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
    ll m = sqrt(n);
    ll ans = 0;
    for(int i = 1;i <= m;++ i) {
        if(n % i == 0) ans += i * phi(n / i) + n / i * phi(i);
    }
    if(m * m == n) ans -= m * phi(m);
    printf("%lld",ans);
}