CodeForces - 434D Nanami's Power Plant

题目大意:

给定一个长为n的序列，序列中的第i为上的值$x_i$,序列第i位上的值$x_i\in[l_i,r_i]$,价值为$f_i(x_i)$,其中$f_i(x) = a_ix^2 + b_ix + c_i$,同时给出m个限制条件,每个限制条件用一个三元组$<u,v,d>$来表示,需要序列满足$x_u \leq x_v + d$。求在满足所限制条件的情况下的$f_i(x_i)$的最大和。

其中满足($1 \leq n \leq 50, 0 \leq m \leq 100 , -100 \leq l_i \leq r_i \leq 100)$

题目解答：

这道题跟[bzoj 3144 切糕]类似,由于网上关于切糕的题解已经烂大街了，在这里就不说了.

首先我们考虑在没有$x_i$的限制之下的答案计算：

直接取每段内的$max$不就好了嘛... ...

开一开脑洞，你就会构造出一个跟切糕差不多的层次模型

这不过这次是"最大割"而已

我们可以把所有有价值的边权全部都被所有值中的最大值减一下

这样我们直接求最小流再调整就行了。

而对于$X_u <= X_v + d$的限制

我们直接应用和切糕一样的思想来限制就可以了

一遍最大流即可

$ans = (max(f_i(x)) + 1)*n - maxflow$

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

inline void read(int &x){

	x=0;char ch;bool flag = false;

	while(ch=getchar(),ch<'!');if(ch == '-') ch=getchar(),flag = true;

	while(x=10*x+ch-'0',ch=getchar(),ch>'!');if(flag) x=-x;

}

inline int cat_max(const int &a,const int &b){return a>b ? a:b;}

inline int cat_min(const int &a,const int &b){return a<b ? a:b;}

const int maxn = 51;

const int maxm = 128;

const int maxnode = 25400;

const int maxedge = 254000;

const int inf = 0x3f3f3f3f;

struct Edge{

	int to,next,cap;

}G[maxedge];

int head[maxnode],cnt=1;

void add(int u,int v,int c){

	G[++cnt].to = v;

	G[cnt].next = head[u];

	G[cnt].cap = c;

	head[u] = cnt;

}

inline void insert(int u,int v,int c){

	add(u,v,c);add(v,u,0);

}

int dis[maxnode],q[maxnode],l,r;

int S,T;

#define v G[i].to

bool bfs(){

	memset(dis,-1,sizeof dis);

	dis[S] = 0;l = 0;r = -1;

	q[++r] = S;

	while(l <= r){

		int u = q[l++];

		for(int i = head[u];i;i=G[i].next){

			if(dis[v] == -1 && G[i].cap){

				dis[v] = dis[u] + 1;

				q[++r] = v;

			}

		}

	}return dis[T] != -1;

}int cur[maxnode];

int dfs(int u,int f){

	if(u == T || f == 0) return f;

	int ret = 0;

	for(int &i = cur[u];i;i=G[i].next){

		if(dis[v] == dis[u] + 1 && G[i].cap){

			int x = dfs(v,cat_min(G[i].cap,f));

			ret += x;f -= x;

			G[i].cap -= x;G[i^1].cap += x;

			if(f == 0) break;

		}

	}if(ret == 0) dis[u] = -1;

	return ret;

}

inline int dinic(){

	int ret = 0;

	while(bfs()){

		memcpy(cur,head,sizeof head);

		ret += dfs(S,inf);

	}return ret;

}

#undef v

int n;

inline int f(int x,int y){

	y += 102;

	return x*210+y;

}

int a[maxn],b[maxn],c[maxn],le[maxn],ri[maxn];

inline int calc(int i,int x){

	return a[i]*x*x+b[i]*x+c[i];

}

int main(){

	S = maxnode - 5;T = S+1;

	read(n);int m;read(m);

	int lim = -inf;

	for(int i=1;i<=n;++i){

		read(a[i]);read(b[i]);read(c[i]);

	}

	for(int i=1;i<=n;++i){

		read(le[i]);read(ri[i]);

		insert(S,f(i,le[i]-1),inf);

		for(int j=le[i];j<=ri[i];++j){

			lim = cat_max(lim,calc(i,j)+1);

		}

		insert(f(i,ri[i]),T,inf);

	}

	for(int i=1;i<=n;++i){

		for(int j=le[i];j<=ri[i];++j){

			insert(f(i,j-1),f(i,j),lim - calc(i,j));

		}

	}

	for(int i=1,u,v,d;i<=m;++i){

		read(u);read(v);read(d);

		for(int j=le[u];j<=ri[u];++j){

			if(j - d - 1 >= le[v] - 1 && j - d -1 <= ri[v])

				insert(f(u,j-1),f(v,j-d-1),inf);

		}

	}

	int ans = dinic();

	printf("%d\n",lim*n - ans);

	getchar();getchar();

	return 0;

}