[LOJ#522]「LibreOJ β Round #3」绯色 IOI(危机)

试题描述

IOI 的比赛开始了。Jsp 和 Rlc 坐在一个角落,这时他们听到了一个异样的声音 ……

接着他们发现自己收到了一封电子邮件:

我们在考场上放置了 N 个炸弹。如果建立一个直线坐标系(数轴)的话,第 i 个炸弹的坐标是 Xi​​,爆炸半径是 Ri,当一个炸弹爆炸时,如果另一个炸弹所在位置 Xj​​ 满足:

Xi−Ri≤Xj≤Xi+Ri

那么,炸弹 j 也会被引爆。

若 i 和 j 满足上述关系式,称 i 能直接引爆 j。若 i 不能直接引爆 j,但引爆 i 会导致 j 爆炸,则称 i 能间接引爆 j。

我可以告诉你们,这些炸弹满足一个性质:若引爆炸弹 A 会直接或间接地引爆炸弹 B,则引爆炸弹 B 一定不会直接或间接地引爆炸弹 A。

有能耐就拆掉炸弹吧!记住,如果其它选手有所动作的话,后果你们应该知道!

吃惊的 Jsp 和 Rlc 开始了调(报)查(警)。之后,这些话被证实了。并且两人还发现了另一个性质:

定义炸弹 A 到 B 的“引爆距离”(用 d(A,B) 表示)为最长的满足以下条件的序列 a1,a2,...,an​​ 的长度:

  1. ai​​ 互不相同,且为 [1,N] 中的整数;
  2. ai​​ 能直接引爆 ai+1
  3. a1=A,an=B。

那么这个性质可以表述为:若 d(A,B)=3,A 一定能直接引爆 B。

经过进一步研究,Rlc 发现最为安全的方法是这样:首先选出若干个关键炸弹安装监测器,然后慢慢拆除。

因为炸弹的某些特性,安装监测器的炸弹必须组成一个有序序列 a1,a2,...,an​​,且满足:

  1. ai​​ 互不相同,且为 [1,N] 中的整数。
  2. ai​​ 能直接或间接引爆 ai+1​​。

Rlc 设计了一个衡量监测器安装方案的安全程度的方法:

首先可以测出每个炸弹的特征值 vi
那么监测器安装方案的安全程度为:∑i=1~n−1F(va_i,va_(i+1)),其中 F(x,y)=(x⊕y+xy) mod 998244353(⊕ 表示二进制按位异或,本题中按位异或的优先级高于乘法和加法)。

现在她想知道,对于 [1,N] 中的每个整数 i,如果她安装监测器的最后一个炸弹是 i(即 an=i),安全程度最大是多少。

请特别注意,题面中大写的 N 表示炸弹总数,小写 n 表示上下文中的序列长度,请勿混淆。

输入

第一行一个整数 N 表示炸弹个数。
第二行 N 个整数 X1,X2,...,XN,表示炸弹的坐标。
第三行 N 个整数 R1,R2,...,RN,表示炸弹的爆炸半径。
第四行 N 个整数 v1,v2,...,vN,表示炸弹的特征值。

输出

输出 N 行,每行一个整数,第 i 行表示拆除的最后一个炸弹是 i 时的最大安全程度。

输入示例

- -    

输出示例


数据规模及约定

对于所有数据,1≤N≤3×105,0≤vi<998244353,0≤Ri≤1018,∣Xi∣≤1018​​。

题解

这道题题意如此长,其实是想方设法创造条件让暴力 AC。。。

首先根据性质 1,它是个 DAG,自然会想到 dp。

然后根据性质 1&3,因为两个炸弹不能互相炸到对方,假设炸弹 A 的范围包含了 B,那么 B 的半径(记做 B_r)一定小于 A_r 的一半,以此类推,会发现对于任意两个炸弹 u, v,如果 u 直接炸到了 v,那么从 v 向 u 连边,那么这个图的最长路径长度不会超过 log max{ Ri }。

发现直接连边数太多了,过不了(大概有 45 分),那么我们直连哪些直接炸到的并且离得最近的边(这个可以从左到右、从右到左扫一遍分别维护 Xi + Ri 和 Xi - Ri 递减和递增的单调栈),这样边数就是 O(n) 的了(证明比较简单,详见 LOJ 官方题解)。

dp 转移的时候暴力沿着路径 dfs 一下,沿途中遇到所有的 dp 值都用来更新一下就好了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long LL read() {
LL x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * f;
} #define maxn 300010
#define maxm 600010
#define LL long long
#define hzt1 998244353 int n, m, head[maxn], nxt[maxm], to[maxm], perm[maxn];
LL X[maxn], R[maxn], v[maxn]; void AddEdge(int a, int b) {
to[++m] = b; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;
return ;
} int S[maxn], top;
LL f[maxn];
void dfs(int st, int u);
LL search(int u);
void dfs(int st, int u) {
// printf("u: %d\n", u);
f[st] = max(f[st], search(u) + ((v[st] ^ v[u]) + v[st] * v[u]) % hzt1);
for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) dfs(st, to[e]);
return ;
}
LL search(int u) {
if(f[u] >= 0) return f[u];
f[u] = 0;
for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) dfs(u, to[e]);
return f[u];
} bool cmp(int a, int b) { return X[a] < X[b]; } int main() {
n = read();
for(int i = 1; i <= n; i++) X[i] = read(), perm[i] = i;
for(int i = 1; i <= n; i++) R[i] = read();
for(int i = 1; i <= n; i++) v[i] = read();
sort(perm + 1, perm + n + 1, cmp); // for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%lld %lld [%d]\n", X[perm[i]], R[perm[i]], perm[i]);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
while(top && X[S[top]] + R[S[top]] < X[perm[i]]) top--;
if(top) AddEdge(perm[i], S[top]); // , printf("type1: %d -> %d\n", perm[i], S[top]);
while(top && X[S[top]] + R[S[top]] <= X[perm[i]] + R[perm[i]]) top--;
S[++top] = perm[i];
}
top = 0;
for(int i = n; i; i--) {
while(top && X[S[top]] - R[S[top]] > X[perm[i]]) top--;
if(top) AddEdge(perm[i], S[top]); // , printf("type2: %d -> %d\n", perm[i], S[top]);
while(top && X[S[top]] - R[S[top]] >= X[perm[i]] - R[perm[i]]) top--;
S[++top] = perm[i];
}
memset(f, -1, sizeof(f));
for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%lld\n", search(i)); return 0;
}

我还是第一次写代码让两个函数互相调用。。。

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