KMP算法心得

今天又看了一遍KMP,感觉真的懂了...就来这儿发一下心得吧.

KMP算法其实就是暴力的改进版.让我们看看暴力的匹配.

Original string: ababababcbbababababc
Pattern string:  abababc

步骤:

ababababcbbababababc
abababc
....中间一些步骤
ababababcbbababababc
abababc
这里a和c匹配不了了,传统的作法会从第二个字符`b'开始匹配.明显不行又跳出.即:
ababababcbbababababc
 a...
再从第三个字符`a'开始:
ababababc...
  abababc
现在匹配了.继续重复.

很明显这个算法在极端情况下的时间复杂度是$\text{O}\left( len\left( \text{Orig String} \right) \cdot len\left( \text{Patt String}\right)\right)$.效率很低.

想一想.在Brute Force中,每次失配后都会将Pattern的头指针指向下一个字符匹配,相当于每次失配都只能跳过一个字符.显然这么做效率非常低.能不能一次跳过多个字符却依然不会漏过匹配呢?当然可以.这样跳过的要求是什么呢?

看看这个例子:
ababababc
abababc
首先`a'和`c'不匹配.跳到`b'么?明显不行,不匹配.
注意到模式串中的
abababc
最前面的`ab'和无法匹配的`c'前面的`ab'是相同的.那么往前跳两格.为什么不跳四格呢?注意到
abababc
中,最前面也有`abab'.
原因是这两部分长度的和超过了已经匹配的字符串的长度,便也许会漏解.
那么在这时设置一个`f[i]'数组,表示第i位匹配失败后将i减小到几.
那么在这个例子中,`f[i]'值如下:(虚拟一个`s[i]'数组表示跳多远)
patt a b a b a b c
f[i] 0 0 0 1 2 3 0
s[i] 0 1 2 2 2 2 6
  i  0 1 2 3 4 5 6
即s[i]=i-f[i]
那么如何求这个f数组呢?

这就是一个有意思的问题了.注意到模式串一般来说要比查找的串要短不少,因此用暴力的$\text{O}\left( n^2\right)$也算一种减小问题规模的算法.但是这样就不统一了,这个时间复杂度奇怪得很.注意到求这个数组的过程神似字符串匹配,那么我们可以用KMP自己来求解,即考察所有在它前面的字符中能够匹配的最大的串.这个可以用一种类似于动归的办法很方便的求解.

设已经求到第i位,那么第i+1位就能被方便的求解.(伪代码,p是模式串,下标从0开始)

f[0]=f[1]=0
j=f[i]
while j && p[i]!=p[j]:
   j=f[j]
f[i+1]=j+1 if p[i]==p[j] or 0

最后附上代码

#include <string.h>
#include <malloc.h>
#include <stdio.h>
void getfail(char* p,int* f){
	int m=strlen(p),i=1,j;
	f[0]=f[1]=0;
	for(;i<m-1;++i){
		j=f[i];
		while(j&&p[i]!=p[j]){
			j=f[j];
		}
		f[i+1]=(p[i]==p[j]?++j:0);
	}
}
int match(char* s,char* p,int* res){
	int l=strlen(s),i,j,lp=strlen(p),lm=0;
	int* f=(int*)malloc((lp+10)*sizeof(int));
	if(f==NULL) return -2;
	getfail(p,f);
	j=0;
	for(i=0;i<l;++i){
		while(j&&p[j]!=s[i]) j=f[j];
		if(p[j]==s[i]) ++j;
		if(j==lp){
			res[lm]=i-lp+1;
			++lm;
			j=f[j-1];
			if(p[j]==s[i]) ++j;
		}
	}
	return lm;
}

这段代码可以求出所有匹配字符串,并返回匹配数.