洛谷P2568 GCD(线性筛法)
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题目:
题目描述 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对.
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输入格式: 一个整数N 输出格式: 答案 输入输出样例
输入样例#: 复制 输出样例#: 复制 说明 对于样例(,),(,),(,),(,) <=N<=^ 来源:bzoj2818 本题数据为洛谷自造数据,使用CYaRon耗时5分钟完成数据制作。
看了好几天数论了,忍不住出来切切水题。
思路:
若已知x,y,因为gcd(x, y)为素数,令p = gcd(x, y),a = x/p,b = y/p,则gcd(a, b) = 1;
所以对于给定的素数p,只要a,b满足gcd(a, b) = 1,则对应的x = a*p,y = b*p就是满足题意的一个数对。因为gcd(a, b) = 1,考虑欧拉函数。
不妨令a ≤ b,则对于一个确定的b,a的选择数有φ(b)种,那么所有a,b的选择就有$\sum \phi (b)$种,b*p ≤ N,所以b的上界为N/p。a,b可以互换位置所以要×2,a,b相等时(a = b = 1)只能算一种所以要-1,所以答案为$\sum_{prime\leqslant N}\left ( 2*\sum_{j=1}^{N/prime}\phi (j)-1 \right )$。
线性筛出质数和欧拉函数O(N),枚举所有小于N的素数就可以了O(N/logN)。
总复杂度O(N+N/logN)。
注意:1e7的数组开多了会MLE,而最小的质数为2,所以欧拉函数和前缀和可以只开到N/2的大小。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX_N = 1e7 + ; int N;
int prime[MAX_N+];
int phi[MAX_N/+];
ll sum[MAX_N/+]; void getPrime_and_Phi() {
memset(prime, , sizeof prime);
phi[] = ;
for (int i = ; i <= MAX_N; i++) {
if (!prime[i]) prime[++prime[]] = i, phi[i] = i-;
for (int j = ; j <= prime[] && prime[j] <= MAX_N/i; j++) {
prime[prime[j]*i] = ;
if (prime[j]*i <= MAX_N/)
phi[prime[j]*i] = phi[i] * (i%prime[j] ? prime[j]- : prime[j]);
if (i % prime[j] == ) break;
}
}
} void init() {
getPrime_and_Phi();
sum[] = ;
for (int i = ; i <= MAX_N/; i++) {
sum[i] = sum[i-] + phi[i];
}
} int main()
{
init();
cin >> N;
ll ans = ;
for (int i = ; i <= prime[] && prime[i] <= N; i++) {
ans += sum[N/prime[i]]*-;
}
cout << ans << endl;
return ;
}
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