51Nod 1070:Bash游戏 V4(斐波那契博弈)
1070 Bash游戏 V4 
基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 40 难度:4级算法题
有一堆石子共有N个。A B两个人轮流拿,A先拿。每次拿的数量最少1个,最多不超过对手上一次拿的数量的2倍(A第1次拿时要求不能全拿走)。拿到最后1颗石子的人获胜。假设A B都非常聪明,拿石子的过程中不会出现失误。给出N,问最后谁能赢得比赛。
例如N = 3。A只能拿1颗或2颗,所以B可以拿到最后1颗石子。
Input
第1行:一个数T,表示后面用作输入测试的数的数量。(1 <= T <= 1000)
第2 - T + 1行:每行1个数N。(1 <= N <= 10^9)
Output
共T行,如果A获胜输出A,如果B获胜输出B。
Input示例
3
2
3
4
Output示例
B
B
A
思路
斐波那契博弈,当石子数量为斐波那契数的时候,先取者处于必败态
证明:根据zeckendorf定理(齐肯多夫定理):任何正整数都可以表示成若干个不连续的斐波那契数(不包括第一个斐波那契数)之和。
若n不是Fib数,则n可被分解为多个不连续Fib数,设其可分为a,b,c三堆(a>b>c)。
A在第一步先拿走堆c。
考虑谁能先拿完倒数第二堆:设倒数第二堆个数为Fib(n),首先,因为Fib(n)>2*Fib(n-2),B不可能一次拿完倒数第二堆。若B拿走的石子数大于等于Fib(n-2),则剩余石子必然可被A一次拿完。若B拿走的石子数为x<Fib(n-2),则有Fib(n)-x必然不是Fib数,将(Fib(n)-x)视作一个子游戏,由归纳假设知,A必在子游戏中获胜。因此无论如何,拿完倒数第二堆的都是A。如此递推,知A必胜。
证得若n不是Fib数,则A必胜。
在上方对于子游戏的考虑中,实际已蕴含了证明若n为Fib数,则A必败。
证明过程来自知乎https://zhuanlan.zhihu.com/p/21706111
AC代码
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <limits.h>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <string>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ms(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define pi acos(-1.0)
#define INF 0x7f7f7f7f
#define lson o<<1
#define rson o<<1|1
const double E=exp(1);
const int maxn=1e2+10;
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
int a[maxn];
int main(int argc, char const *argv[])
{
ios::sync_with_stdio(false);
a[0]=1;a[1]=1;
map<int,int>mp;
mp[1]=1;
for(int i=2;i<=45;i++)
{
a[i]=a[i-1]+a[i-2];
mp[a[i]]=1;
}
int t;
int n;
cin>>t;
while(t--)
{
cin>>n;
if(mp[n])
cout<<"B"<<endl;
else
cout<<"A"<<endl;
}
return 0;
}
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