【银川网络赛G】Factories

题目大意：给定一棵 N 个节点的树，边有边权，选定 M 个叶子节点，使得任意两个叶子节点的树上距离之和最小，求最小值是多少。

题解：任意两点的树上距离和问题应从边的贡献角度考虑。

设 \(f[u][i]\) 表示以 u 为根的子树中，选了 i 个叶子节点的最优解，状态转移方程为：

\[f[u][i + j] = min(f[u][i + j], f[u][i] + f[v][j] + w * j * (j - m))
\]

其中所加项为子节点和父节点之间的边的贡献。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

int main() {
	int T, kase = 0;
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		int n, m;
		scanf("%d %d", &n, &m);
		vector<vector<pair<int, LL>>> adj(n + 1); // <to, w>
		vector<int> deg(n + 1);
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			int x, y, z;
			scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
			adj[x].emplace_back(y, z);
			adj[y].emplace_back(x, z);
			++deg[x], ++deg[y];
		}
		if (m == 1) {
			printf("Case #%d: 0\n", ++kase);
			continue;
		}
		if (n == 2) {
			printf("Case #%d: %lld\n", ++kase, adj[1][0].second);
			continue;
		}
		vector<vector<LL>> f(n + 1, vector<LL>(m + 1, 1e12));
		function<int(int, int)> dfs = [&](int u, int fa) -> int {
			bool not_leaf = 0;
			int sz = 0;
			f[u][0] = 0;
			for (auto t : adj[u]) {
				int v = t.first;
				LL w = t.second;
				if (v == fa) {
					continue;
				}
				not_leaf = 1;
				int son = dfs(v, u);
				for (int i = min(sz, m); i >= 0; i--) {
					for (int j = min(son, m - i); j >= 0; j--) {
						if (i + j > m) {
							continue;
						}
						f[u][i + j] = min(f[u][i + j], f[u][i] + f[v][j] + (LL)j * (m - j) * w);
					}
				}
				sz += son;
			}
			if (not_leaf == 0) {
				f[u][1] = 0;
				sz = 1;
			}
			return sz;
		};
		int rt = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (deg[i] > 1) {
				rt = i;
				break;
			}
		}
		dfs(rt, 0);
		printf("Case #%d: %lld\n", ++kase, f[rt][m]);
	}
	return 0;
}