聪聪和可可[NOI2005]

【问题描述】

在一个魔法森林里，住着一只聪明的小猫聪聪和一只可爱的小老鼠可可。虽然灰姑娘非常喜欢她们俩，但是，聪聪终究是一只猫，而可可终究是一只老鼠，同样不变的是，聪聪成天想着要吃掉可可。

一天，聪聪意外得到了一台非常有用的机器，据说是叫GPS，对可可能准确的定位。有了这台机器，聪聪要吃可可就易如反掌了。于是，聪聪准备 马上出发，去找可可。而可怜的可可还不知道大难即将临头，仍在森林里无忧无虑的玩耍。小兔子乖乖听到这件事，马上向灰姑娘报告。灰姑娘决定尽快阻止聪聪， 拯救可可，可她不知道还有没有足够的时间。

整个森林可以认为是一个无向图，图中有N个美丽的景点，景点从1至N编号。小动物们都只在景点休息、玩耍。在景点之间有一些路连接。

当聪聪得到GPS时，可可正在景点M(M≤N)处。以后的每个时间单位，可可都会选择去相邻的景点(可能有多个)中的一个或停留在原景点不 动。而去这些地方所发生的概率是相等的。假设有P个景点与景点M相邻，它们分别是景点R、景点S，……景点Q，在时刻T可可处在景点M，则在(T＋1)时 刻，可可有1/(P+1)的可能在景点R，有1/(P+1)的可能在景点S，……，有1/(P+1)的可能在景点Q，还有1/(P+1)的可能停在景点 M。

我们知道，聪聪是很聪明的，所以，当她在景点C时，她会选一个更靠近可可的景点，如果这样的景点有多个，她会选一个标号最小的景点。由于聪聪太想吃掉可可了，如果走完第一步以后仍然没吃到可可，她还可以在本段时间内再向可可走近一步。

在每个时间单位，假设聪聪先走，可可后走。在某一时刻，若聪聪和可可位于同一个景点，则可怜的可可就被吃掉了。灰姑娘想知道，平均情况下，聪聪几步就可能吃到可可。而你需要帮助灰姑娘尽快的找到答案。

【输入文件】

• 从文件中读入数据。
• 数据的第1行为两个整数N和E，以空格分隔，分别表示森林中的景点数和连接相邻景点的路的条数。
• 第2行包含两个整数C和M，以空格分隔，分别表示初始时聪聪和可可所在的景点的编号。
• 接下来E行，每行两个整数，第i+2行的两个整数Ai和Bi表示景点Ai和景点Bi之间有一条路。
• 所有的路都是无向的，即：如果能从A走到B，就可以从B走到A。
• 输入保证任何两个景点之间不会有多于一条路直接相连，且聪聪和可可之间必有路直接或间接的相连。

【输出文件】

• 输出到文件中。
• 输出1个实数，四舍五入保留三位小数，表示平均多少个时间单位后聪聪会把可可吃掉。

【样例输入1】

4 3
1 4
1 2
2 3
3 4

【样例输出1】

1.500

【样例说明1】

开始时，聪聪和可可分别在景点1和景点4。

第一个时刻，聪聪先走，她向更靠近可可(景点4)的景点走动，走到景点2，然后走到景点3；假定忽略走路所花时间。

可可后走，有两种可能：

第一种是走到景点3，这样聪聪和可可到达同一个景点，可可被吃掉，步数为1，概率为 0.5。 第二种是停在景点4，不被吃掉。概率为 0.5。

到第二个时刻，聪聪向更靠近可可(景点4)的景点走动，只需要走一步即和可可在同一景点。因此这种情况下聪聪会在两步吃掉可可。

所以平均的步数是1* 0.5+2* 0.5=1.5步。

【样例输入2】

9 9
9 3
1 2
2 3
3 4
4 5
3 6
4 6
4 7
7 8
8 9

【样例输出2】

2.167

【样例说明2】

【数据范围】

• 对于所有的数据，1≤N,E≤980。
• 对于50%的数据，1≤N≤50。

【题解】

第一道概率期望DP(或者说记忆化搜索？)，这种有值就返回的操作好像在树形DP那里有些印象。刚开始盯着题面好久，觉得步骤、先后手、两次、字典序这些东西太乱了，完全想不到应该怎么处理，没有一点头绪。后来膜了zzh大佬的题解，才明白这种诡异的问题就应该预处理掉，否则一边dp一边考虑这些条件肯定没法做。1000的数据范围spfa轻轻松松就跑过了，用pr[i][j]表示从i到j猫会选择的点(可以注意到这只猫的行为是非常有逻辑的，就像昨天《幸福的道路》里一定要走最长路一样)，用多源改造版spfa跑出来。刚开始学板子的时候总觉得板子的每一步神圣不可侵犯，但是渐渐发现更需要的是在板子的基础上灵活变通，来适应各种题目的需要，比如这道题的简单路径记录，又比如用并查集维护附加信息，这种题目正在渐渐走进我们的视野。

预处理之后就是记忆化搜索，f[i][j]表示从i到j步数的期望，temp实际上是一个走上这条路的概率。用概率乘上不同步骤的期望，加和得到总期望。如果这一步没有成功，老鼠也会继续移动或停止，转移时要注意这一点。刚开始看到zzh代码里有个1.0，没当回事，后来居然发现用1过不了样例！这种弱智问题到现在还在犯，真是太不应该了。具体步骤见代码。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int sj=;
int n,m,st,fi,h[sj],pr[sj][sj],a1,a2,e,cd[sj];
double f[sj][sj];
struct B
{
    int ne,v;
}b[sj*];
void add(int x,int y)
{
     b[e].v=y;
     b[e].ne=h[x];
     h[x]=e++;
}
queue<int> q;
int dis[sj],ad;
bool r[sj];
void spfa(int x)
{
     r[x]=;
     dis[x]=;
     pr[x][x]=x;
     q.push(x);
     while(!q.empty())
     {
        ad=q.front();
        for(int i=h[ad];i!=-;i=b[i].ne)
        {
           if(dis[b[i].v]>dis[ad]+)
           {
              dis[b[i].v]=dis[ad]+;
              if(!r[b[i].v])
              {
                 r[b[i].v]=;
                 q.push(b[i].v);
                 if(ad==x)  pr[x][b[i].v]=b[i].v;
                 else pr[x][b[i].v]=pr[x][ad];
              }
           }
           if(dis[b[i].v]==dis[ad]+&&pr[x][b[i].v]>pr[x][ad])
           {
             if(ad==x)  pr[x][b[i].v]=b[i].v;
             else pr[x][b[i].v]=pr[x][ad];
           }
        }
        q.pop();
        r[ad]=;
     }
}
void init()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&st,&fi);
    memset(h,-,sizeof(h));
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
       scanf("%d%d",&a1,&a2);
       add(a1,a2);
       cd[a1]++;
       add(a2,a1);
       cd[a2]++;
    }
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
       memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
       spfa(i);
    }
}
double dp(int x,int y)
{
    if(x==y) return f[x][y]=;
    int lb=pr[pr[x][y]][y];
    if(pr[x][y]==y||lb==y) return f[x][y]=;
    if(f[x][y]) return f[x][y];
    double temp=1.0/(cd[y]+);
    f[x][y]=temp*dp(lb,y)+;
    for(int i=h[y];i!=-;i=b[i].ne)
        f[x][y]+=temp*dp(lb,b[i].v);
    return f[x][y];
}
int main()
{
    init();
    printf("%.3lf",dp(st,fi));
    return ;
}

小学期集训就这么结束了，考试总评rank12。day1一般，day2简直没有分，day3day4勉强追回来一些。只A掉了一道题，打得差不多的有4、5道，至于其他题我立志要拿到的暴力分基本上都拿到了，但是完全没思路的题也有不少。其他时间主要是在改题，只有今天做了一些概率的题，而且做得很困难。以Treap为代表的平衡树只学了点原理，连板子题都没打过。前面的题库AC自动机、树链剖分和dp专题还差不少，状压最后的三道神题一道都没有过。就我个人来说想去打一打更复杂的有附加信息的并查集，还想见识见识大模拟、大搜索。之后是痛苦万分无聊透顶的文化课集训，对于二调(或者说小学期期末)并没有什么想法，但是万一考完要回唐山就得重视点了。文化课那边也不过是那么学，用心第一，用时间倒不是最重要的。相比之下，我更想学学数学数论方面的知识。学文化课简单却痛苦，学奥赛困难却快乐，可是无论如何都得学。希望奥赛集训快点来吧。