【NOI2005】聪聪和可可 概率与期望 记忆化搜索

1415: [Noi2005]聪聪和可可

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Description

Input

数据的第1行为两个整数N和E，以空格分隔，分别表示森林中的景点数和连接相邻景点的路的条数。
第2行包含两个整数C和M，以空格分隔，分别表示初始时聪聪和可可所在的景点的编号。
接下来E行，每行两个整数，第i+2行的两个整数Ai和Bi表示景点Ai和景点Bi之间有一条路。
所有的路都是无向的，即：如果能从A走到B，就可以从B走到A。
输入保证任何两个景点之间不会有多于一条路直接相连，且聪聪和可可之间必有路直接或间接的相连。

Output

输出1个实数，四舍五入保留三位小数，表示平均多少个时间单位后聪聪会把可可吃掉。

Sample Input

【输入样例1】
4 3
1 4
1 2
2 3
3 4
【输入样例2】
9 9
9 3
1 2
2 3
3 4
4 5
3 6
4 6
4 7
7 8
8 9

Sample Output

【输出样例1】
1.500
【输出样例2】
2.167

HINT

【样例说明1】
开始时，聪聪和可可分别在景点1和景点4。
第一个时刻，聪聪先走，她向更靠近可可(景点4)的景点走动，走到景点2，然后走到景点3；假定忽略走路所花时间。
可可后走，有两种可能：
第一种是走到景点3，这样聪聪和可可到达同一个景点，可可被吃掉，步数为1，概率为 。
第二种是停在景点4，不被吃掉。概率为 。
到第二个时刻，聪聪向更靠近可可(景点4)的景点走动，只需要走一步即和可可在同一景点。因此这种情况下聪聪会在两步吃掉可可。
所以平均的步数是1* +2* =1.5步。

对于所有的数据，1≤N,E≤1000。
对于50%的数据，1≤N≤50。

Solution

设F[i][j]为猫在i点，鼠在j点，猫鼠相遇的期望时间。

一般是考虑倒着来做的，但这题倒着并不好做，因此考虑记忆化搜索。

设p[i][j]为猫在i点，鼠在j点，猫下一个时刻会到达的点。

分情况讨论：

1.若p[i][j] == j或p[p[i][j]][j] == j，F[i][j] = 12.设t为p[p[i][j]][j]，F[i][j] = (F[t][j]+ΣF[t][k])/(cnt+1)，cnt为j点能直接到达的点的数目。

Code

 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <string>
 #include <algorithm>
 #include <queue>

 using namespace std;

 #define REP(i, a, b) for (int i = (a), i##_end_ = (b); i <= i##_end_; ++i)
 #define REP_EDGE(i, a) for (int i = (a); i != -1; i = e[i].nxt)
 #define mset(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
 const int MAXN = 1e3+;
 int n, m;
 struct Edge
 {
     int v, nxt;
     Edge(int v = , int nxt = ): v(v), nxt(nxt) {}
 }e[MAXN*];
 int head[MAXN], label;
 queue <int> q;
 int dist[MAXN], p[MAXN][MAXN];
 bool vis[MAXN];
 double f[MAXN][MAXN];

 void ins(int u, int v) { e[++label] = Edge(v, head[u]), head[u] = label; }

 void SPFA(int s)
 {
     mset(dist, -);
     q.push(s), dist[s] = , vis[s] = , p[s][s] = ;
     while (!q.empty())
     {
         int u = q.front(); vis[u] = , q.pop();
         REP_EDGE(i, head[u])
         {
             int v = e[i].v;
             if (dist[v] == - || dist[v] >= dist[u]+)
             {
                 if (dist[v] == - || dist[v] > dist[u]+ || (dist[v] == dist[u]+ && p[s][v] > p[s][u]))
                 {
                     p[s][v] = p[s][u];
                     if (!p[s][v]) p[s][v] = v;
                 }
                 dist[v] = dist[u]+;
                 if (!vis[v]) vis[v] = , q.push(v);
             }
         }
     }
 }

 double dfs(int u, int v)
 {
     if (u == v) return ;
     if (p[u][v] == v || p[p[u][v]][v] == v) return ;
     if (f[u][v]) return f[u][v];
     int temp = p[p[u][v]][v], cnt = ;
     double ret = dfs(temp, v);
     REP_EDGE(i, head[v]) cnt ++, ret += dfs(temp, e[i].v);
     ret /= cnt, ret += 1.0;
     return f[u][v] = ret;
 }

 int main()
 {
     int S, T, u, v;
     scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &S, &T);
     REP(i, , n) head[i] = -; label = -;
     REP(i, , m) scanf("%d %d", &u, &v), ins(u, v), ins(v, u);
     REP(i, , n) SPFA(i);
     printf("%.3lf\n", dfs(S, T));
     return ;
 }