QuantLib 金融计算——数学工具之插值

目录

• QuantLib 金融计算——数学工具之插值
  • 概述
  • 一维插值方法
  • 二维插值方法

如果未做特别说明，文中的程序都是 Python3 代码。

QuantLib 金融计算——数学工具之插值

载入模块

import QuantLib as ql
import scipy

print(ql.__version__)

1.12

概述

“插值”是量化金融中最常用的工具之一，已知一组离散点以及未知函数 \(f\) 在这些点上的值 \((x_i , f(x_i )) i \in \{0, \dots, n\}\)，要近似求出任意一点 \(x \in [x_0 , x_n ]\) 上的函数值。标准的应用场景是对收益率曲线、波动率微笑曲线和波动率曲面的插值。quantlib-python 提供了下列一维和二维插值方法：

• LinearInterpolation（1-D）
• LogLinearInterpolation（1-D）
• BackwardFlatInterpolation（1-D）
• ForwardFlatInterpolation（1-D）
• BilinearInterpolation（2-D）
• BicubicSpline（2-D）

一维插值方法

一维插值方法常用于收益率曲线、波动率微笑曲线，其对象的构造基本如下：

myInt = XXXInterpolation(x,
                         y)

• x：浮点数序列，若干离散的自变量
• y：浮点数序列，自变量对应的函数值，与 x 等长

插值类定义了 __call__ 方法，一个插值类对象的使用方式如下，作为一个函数

myInt(x, allowExtrapolation)

• x：浮点数，要插值的点
• allowExtrapolation：布尔型，allowExtrapolation 为 True 意味着允许外推，默认值是 False。

例子 1

def testingInterpolations1():
    xVec = [0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0]
    yVec = [scipy.exp(x) for x in xVec]

    linInt = ql.LinearInterpolation(xVec, yVec)

    print("Exp at 0.0  ", linInt(0.0))
    print("Exp at 0.5  ", linInt(0.5))
    print("Exp at 1.0  ", linInt(1.0))

# Exp at 0.0   1.0
# Exp at 0.5   1.8591409142295225
# Exp at 1.0   2.718281828459045

二维插值方法

二维插值方法常用于波动率曲面，其对象的构造基本如下：

myInt = XXXInterpolation(x,
                         y,
                         m)

• x：浮点数序列，x 轴上的若干离散的自变量
• y：浮点数序列，y 轴上的若干离散的自变量，与 x 等长
• m：矩阵，函数在 x 和 y 所张成的网格上的取值

插值类定义了 __call__ 方法，一个插值类对象的使用方式如下，作为一个函数

myInt(x, y, allowExtrapolation)

• x、y：浮点数，分别是要插值的点在 x 和 y 轴上的坐标
• allowExtrapolation：布尔型，allowExtrapolation 为 True 意味着允许外推，默认值是 False。

例子 2

def testingInterpolations2():
    xVec = [float(i) for i in range(10)]
    yVec = [float(i) for i in range(10)]

    M = ql.Matrix(len(xVec), len(yVec))

    for rowIt in range(len(xVec)):
        for colIt in range(len(yVec)):
            M[rowIt][colIt] = scipy.sin(xVec[rowIt]) + scipy.sin(yVec[colIt])

    bicubIntp = ql.BicubicSpline(
        xVec, yVec, M)

    x = 0.5
    y = 4.5

    print("Analytical Value:  ", scipy.sin(x) + scipy.sin(y))
    print("Bicubic Value:  ", bicubIntp(x, y))

testingInterpolations4()

Analytical Value:   -0.498104579060894
Bicubic Value:    -0.49656170664824184