poj蚂蚁问题

问题描述：

n只蚂蚁以每秒1cm的速度在长为Lcm的竿子上爬行。当蚂蚁爬到竿子的端点时就会掉落。由于竿子太细，两只蚂蚁相遇时，它们不能交错通过，只能各自反向 爬回去。对于每只蚂蚁，我们知道它距离竿子左端的距离xi，但不知道它当前的朝向。请计算各种情况当中，所有蚂蚁落下竿子所需的最短时间和最长时间。

首先是最短时间，论证如下：

对于处于位置xi 处的蚂蚁，它最快掉下去的时间应该是min(xi, L - xi)，显然，不管有没碰撞，这一点总是成立的。现在考虑所有的蚂蚁都朝着最近的一端走，此时是不可能有碰撞的：[0, L / 2) 处的蚂蚁总是向0爬，[L / 2, L)处的蚂蚁总是向L 端爬，则前后两部分蚂蚁相对而爬，不会碰撞，而同方向的蚂蚁更不会碰撞，所以得以证明当所有的蚂蚁都朝着最近的一端走的时候，不会有碰撞发生，此时得到的时间就是最短时间。

关于最长时间，考虑碰撞的影响， 现在假设有处于x1, x2(x1 < x2)处的两只蚂蚁A, B，A向右，B向左，于是它们会在(x1 + x2) / 2处相撞。则按照题目中所述相撞返回导致t(A) = (x2 - x1) + x1 = x2,t(B) = x2 - x1 + L - x2 = L - x1，而我们可以想象另一种做法，相撞之后直接往前走，则t'(A) = L - x1, t'(B) = x2。由此可以论证，碰撞对于最长时间的计算并无影响！所以只需所有蚂蚁朝最远的一端走的情形，即可知道最长时间。