AUC计算 - 进阶操作

首先AUC值是一个概率值，当你随机挑选一个正样本以及负样本，当前的分类算法根据计算得到的Score值将这个正样本排在负样本前面的概率就是AUC值，AUC值越大，当前分类算法越有可能将正样本排在负样本前面，从而能够更好地分类。

AUC计算

• 最直观的，根据AUC这个名称，我们知道，计算出ROC曲线下面的面积，就是AUC的值。事实上，这也是在早期 Machine Learning文献中常见的AUC计算方法。由于我们的测试样本是有限的。我们得到的AUC曲线必然是一个阶梯状的。因此，计算的AUC也就是这些阶梯 下面的面积之和。这样，我们先把score排序(假设score越大，此样本属于正类的概率越大)，然后一边扫描就可以得到我们想要的AUC。但是，这么 做有个缺点，就是当多个测试样本的score相等的时候，我们调整一下阈值，得到的不是曲线一个阶梯往上或者往右的延展，而是斜着向上形成一个梯形。此 时，我们就需要计算这个梯形的面积。由此，我们可以看到，用这种方法计算AUC实际上是比较麻烦的。

  • 参见：AUC计算 - 手把手步进操作

• 一个关于AUC的很有趣的性质是，它和Wilcoxon-Mann-Witney Test是等价的。而Wilcoxon-Mann-Witney Test就是测试任意给一个正类样本和一个负类样本，正类样本的score有多大的概率大于负类样本的score。有了这个定义，我们就得到了另一种计 算AUC的办法。我们知道，在有限样本中我们常用的得到概率的办法就是通过频率来估计之。这种估计随着样本规模的扩大而逐渐逼近真实值。这 和上面的方法中，样本数越多，计算的AUC越准确类似；也和积分时，小区间越细计算越准确同样道理。具体来说就是统计一下所有的 M×N(M为正类样本的数目，N为负类样本的数目)个正负样本对中，有多少个组中的正样本的score大于负样本的score。当二元组中正负样本的 score相等的时候，按照0.5计算。然后除以MN。实现这个方法的复杂度为O(n^2)。n为样本数（即n=M+N）

• 第三种方法实际上和上述第二种方法是一样的，但是复杂度减小了。它也是首先对score从大到小排序，然后令最大score对应的sample 的rank为n，第二大score对应sample的rank为n-1，以此类推。然后把所有的正类样本的rank相加，再减去M-1种两个正样本组合的情况。得到的就是所有的样本中有多少对正类样本的score大于负类样本的score。然后再除以M×N。即

AUC = \frac{ \sum_{i\in positive} rank - \frac{M(1+M)}2}{M\times N}

附代码实现：

# auc with a formular I don't know how to work..
# Params is a list with tuple contains (precision, label)
# Return a float auc value
#
def auc_only_distinct(_pr_label_tuple_seq = []):
  _pr_label_tuple_seq.sort(key=lambda pair : pair[0])
  positive_sample_count = sum([1 for pair in _pr_label_tuple_seq if pair[1] == 1 ])
  negtive_sample_count = len(_pr_label_tuple_seq) - positive_sample_count
  sigma = 1.0 * \
    sum(
      [ pair[0] for pair in
        zip(range(1, 1 + len(_pr_label_tuple_seq)), _pr_label_tuple_seq)
        if pair[1][1] == 1])
  return (sigma - (positive_sample_count + 1) * positive_sample_count / 2) / positive_sample_count / negtive_sample_count

# auc with Wilcoxon-Mann-Witney Test and dynamic programming
# same as aucByAngel_only_distinct when precision is distinct and same precision all is postive sample
# is different from aucByAngel_only_distinct when same precision but not all positive sample
# Params is a list with tuple contains (precision, label)
# Return a float auc value
#
def auc(_pr_label_tuple_seq = []):
  _pr_label_tuple_seq.sort(key=lambda pair : pair[0])
  _pr_seq = [ i[0] for i in _pr_label_tuple_seq ]
  _pr_rank_tuple_dict = {}
  _pr_rank_tuple_seq = zip(_pr_seq, range(1, len(_pr_label_tuple_seq)+1))
  for _pr_rank_tuple in _pr_rank_tuple_seq:
    precision = _pr_rank_tuple[0]
    rank = _pr_rank_tuple[1]
    if(_pr_rank_tuple_dict.has_key(precision)):
         _rank_count_tuple = _pr_rank_tuple_dict[precision]
         old_count = _rank_count_tuple[1]
         new_count = old_count + 1
         rank = (_rank_count_tuple[0] * old_count + rank) / new_count
         _pr_rank_tuple_dict[precision] = (rank, new_count)
    else:
         _pr_rank_tuple_dict[precision] = (rank * 1.0, 1)
  positive_sample_count = sum([1 for pair in _pr_label_tuple_seq if pair[1] == 1 ])
  negtive_sample_count = len(_pr_label_tuple_seq) - positive_sample_count
  sigma = 1.0 * sum([ _pr_rank_tuple_dict.get(pair[0])[0] for pair in _pr_label_tuple_seq if pair[1] == 1])
  return (sigma - (positive_sample_count + 1) * positive_sample_count / 2) / positive_sample_count / negtive_sample_count