CDOJ 92 – Journey 【LCA】

【题意】给出一棵树，有n个点(2≤N≤10⁵)，每条边有权值，现在打算新修一条路径，给出新路径u的起点v，终点和权值，下面给出Q(1≤Q≤10⁵)个询问(a,b)问如果都按照最短路径走，从a到b节省了多少距离。

咱不妨把新修路径的一个端点u设为根结点，然后建树。

这样新路径另一端v一定连着它的子树的一个点。

从祖先u到孩子v再加上(u,v)构成一个环，这个是树中唯一的一个环，

如果新加的路径比不加新路径时从u到v的距离短：

对于询问a到b的路程改变量，如果a是v的孩子，而b是u的祖先或者是在另一棵子树中（与b不在同一棵子树中），显然经过新路径更划算。

那么如果a是v的孩子，而b在未加新路径时(u,v)路径的某一个点上，那么需要判断，先从v沿新路到u，再从u到b更近，还是从v直接到b更近。

我们发现，如果b是靠近u的一些点，采用前者更近，如果b是靠近v的一些点，采用后者更近，显然中间一定有一条边作为这两类点的分界线，无论b在什么位置，都一定不会经过这条边。

一开始在原树上做一次LCA，求出各个询问的路径长度。然后加上新边，查找出要删去的那条边，重新做一次LCA，求出询问的路径长度。求出差就是这种情况的答案。

但是这种算法不适用与a与b都在原树的u,v路径上的情况，这时有可能不走新路径长度更短，那么第二次求最短路径就调整为求两次路径长度中的最小值，这样就确保了差是最小值。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<vector>
#include<queue>
#include<string>
#include<sstream>
#define eps 1e-9
#define ALL(x) x.begin(),x.end()
#define INS(x) inserter(x,x.begin())
#define FOR(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define MAXN 100015
#define MAXM 200015
#define INF 0x3fffffff
using namespace std;
typedef long long LL;
int i,j,k,n,m,x,y,T,ans,big,cas,num,len;
bool flag;
int u,v,w,d;
int edge,head[MAXN],u2,v2,w2;

int fa[MAXN],pre[MAXN],query[MAXN][],dist[MAXN];
bool vis[MAXN];

struct node
{
    int v,id;
    node (int _v,int _id):v(_v),id(_id){}
};

int find(int x)
{
    if (x==fa[x]) return fa[x];
    return fa[x]=find(fa[x]);
}

vector <vector<node> > mp;

struct edgenode
{
    int from,to,next,w;
} G[MAXM];

void add_edge(int x,int y,int w)
{
    G[edge].from=x;
    G[edge].to=y;
    G[edge].w=w;
    G[edge].next=head[x];
    head[x]=edge++;
}

void tarjan(int u,int p)
{
    vis[u]=true;
    for (int i=;i<mp[u].size();i++)
    {
        int v=mp[u][i].v,id=mp[u][i].id;
        if (vis[v]) query[id][p]=find(v);
    }

    for (int i=head[u];i!=-;i=G[i].next)
    {
        int v=G[i].to,w=G[i].w;
        if (w==-) continue;
        if (!vis[v])
        {
            dist[v]=dist[u]+w;
            tarjan(v,p);
            fa[v]=u;

            pre[v]=i;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        memset(head,-,sizeof(head));
        edge=;

        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (i=;i<n-;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            add_edge(u,v,w);
            add_edge(v,u,w);
        }
        scanf("%d%d%d",&u2,&v2,&w2);

        mp.clear();
        mp.resize(n+); 

        for (i=;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            query[i][]=u;
            query[i][]=v;
            mp[u].push_back(node(v,i));
            mp[v].push_back(node(u,i));
        }
        for (i=;i<=n;i++) fa[i]=i;
        memset(vis,,sizeof(vis));
        dist[u2]=;
        tarjan(u2,);

        for (i=;i<m;i++)
        {
            int u=query[i][];
            int v=query[i][];
            int d=query[i][];
            query[i][]=dist[u]+dist[v]-*dist[d];
        }

        int p=v2;
        int t1=w2,t2=dist[v2];
        printf("Case #%d:\n",++cas);

        if (t1<t2)
        {
            while (p!=u2)
            {
                int v=G[pre[p]].from;
                int w=G[pre[p]].w;

                t1+=w;
                t2-=w;
                if (t1>t2)
                {
                    G[pre[p]].w=-;
                    G[pre[p]^].w=-;
                    break;
                }
                p=v;
            }
            memset(vis,,sizeof(vis));
            dist[u2]=;
            for (int i=;i<=n;i++) fa[i]=i;
            add_edge(u2,v2,w2);
            add_edge(v2,u2,w2);
            tarjan(u2,);

            for (int i=;i<m;i++)
            {
                int u=query[i][];
                int v=query[i][];
                int d=query[i][];
                int dis=dist[u]+dist[v]-*dist[d];
                if (dis<query[i][])
                printf("%d\n",query[i][]-dis);
                else printf("0\n");
            }
        }else
        {
            for(int i=;i<m;i++)
            {
                 printf("0\n");
            }
        }

    }
    return ;
}