EOJ3536 求蛇形矩阵每一行的和---找规律

题目链接：

https://acm.ecnu.edu.cn/problem/3536/

题目大意：

求蛇形矩阵的每一行的和，数据范围n<=200000。

思路：

由于n数据较大，所以感觉应该是需要找规律。

先附上蛇形矩阵的打表代码，先输出数据较小的蛇形矩阵，观察规律。

 #include <iostream>
 #include <malloc.h>
 using namespace std;
 int arr[][];
 int startNum=;
 void DrawCircle(int len,int n);
 int main(){
     int i,j,k,n,len;
     cout<<"请输入蛇形矩阵阶数n\nn=";
     cin>>n;
     len=n;
     if(n%!=){
         while(len>){
             DrawCircle(len,n);
             len=len-;
         }
         arr[n/+][n/+]=n*n;
     }
     else{
         while(len>){
             DrawCircle(len,n);
             len=len-;
         }
     }
     cout<<"对应的蛇形矩阵如下"<<endl;
     for(i=;i<=n;i++){
         for(j=;j<=n;j++){
             cout<<arr[i][j];
             if(j<n){
                 if(arr[i][j]>=)
                     cout<<" ";
                 else
                     cout<<"  ";
             }
             else
                 cout<<endl;
         }
     }
     for(int i = ; i <= n; i++)
     {
         int tot = ;
         for(int j = ; j <= n; j++)tot += arr[i][j];
         cout<<tot<<endl;
     }
     return ;
 }
 void DrawCircle(int len,int n){
     int i,number,row,col;
     number=(n-len)/+;//当前画的是第几个圈
     row=number;col=number;
     for(i=;i<=len;i++){
         arr[row][col]=startNum++;
         col++;
     }
     col--;//for循环要跳出时候，列数多加了一次，这个地方减掉
     for(i=;i<=len-;i++){
         row++;
         arr[row][col]=startNum++;
     }
     for(i=;i<=len-;i++){
         col--;
         arr[row][col]=startNum++;
     }
     for(i=;i<=len-;i++){
         row--;
         arr[row][col]=startNum++;
     }
 }

举个例子，先观察n = 9的时候。

对应的蛇形矩阵如下

1  2  3  4  5  6  7  8  9
32 33 34 35 36 37 38 39 10
31 56 57 58 59 60 61 40 11
30 55 72 73 74 75 62 41 12
29 54 71 80 81 76 63 42 13
28 53 70 79 78 77 64 43 14
27 52 69 68 67 66 65 44 15
26 51 50 49 48 47 46 45 16
25 24 23 22 21 20 19 18 17

第一行的和是S1 = 9*10/2=45。

第二行前8位比第一行多，第9位多1，S2 = 31*+1+S1=294

第三行第2位到第7位比第二行多， 第1位少1，后1位多1正好抵消，第8位多1，所以S3 = 23*+1+S2=433

第四行第3位到第6位比第三行多， 前2位少1，后2位多1正好抵消，第7位多1，所以S4 = 15*+1+S3=494

第五行第4位到第5位比第三行多， 前3位少1，后3位多1正好抵消，第6位多1，所以S5 = 7*+1+S4=509

这是上面的前半部分的规律，从a = 4 * n - 5（4*9-5=31）, b = n - 1（9-1=8）开始，a依次减，b依次减

第六行比第五行前4位少1， 后4位多1，中间位少，S6 = S5-1*3=506

第七行比第六行前3位少1， 后3位多1，中间位少， S7 = S6 - 3*11=473

第八行比第七行前2位少1， 后2位多1，中间位少， S8 = S7 - 5*19=378

第九行比第八行前1位少1， 后1位多1，中间位少， S9 = S8 - 7*27=189

后半部分的规律是从a = 3, b = 1开始，a依次加8， b依次加2

以上是n为奇数的规律，偶数的规律也类似：
以n = 6为例：

对应的蛇形矩阵如下
1   2   3   4   5   6
20 21 22 23 24 7
19 32 33 34 25 8
18 31 36 35 26 9
17 30 29 28 27 10
16 15 14 13 12 11

前三行的规律和上面一样，

S1 = 6 * 7 / 2 = 21

S2 = * + 1 + S1=117

S3 = * + 1 + S2=151

后三行的规律是

S4 = S3 + 4

S5 = S4 - *

S6 = S5 - *

多找几组偶数会发现每次都是这样的规律，后半部分的第一行 = 前半部分的最后一行 + 4，然后的规律都是依次减去a*b,a最开始为2，b最开始为7,之后依次a+=2，b+=8.

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<string>
 #include<cmath>
 #include<set>
 #include<queue>
 #include<map>
 #include<stack>
 #include<vector>
 #include<list>
 #include<deque>
 #include<sstream>
 #include<cctype>
 #define REP(i, n) for(int i = 0; i < (n); i++)
 #define FOR(i, s, t) for(int i = (s); i < (t); i++)
 #define MEM(a, x) memset(a, x, sizeof(a));
 #define DEBUG(x) cout<<x<<endl;
 #define DBG cout<<"----------------"<<endl;
 #define mid(x, y) x + (y - x)/ 2
 #define lc o<<1
 #define rc o<<1|1
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef pair<int, int> Pair;
 const int maxn = 1e6 + ;
 const double eps = 1e-;
 const int INF = 1e9;
 const int dir[][] = {,,,,,-,-,};
 const double pi = 3.1415926535898;
 ll T, n, m, cases;
 int main()
 {
     std::ios::sync_with_stdio(false);
     cin >> n;
     if(n & )//奇数的时候
     {
         ll a1 = (n + ) * n / ;//求出第一行
         cout<<a1<<endl;
         ll a =  * n - , b = n - ;//a,b初始值
         int i;
         for(i = ; i <= (n + ) / ; i++)//前半部分输出
         {
             a1 = a1 +  + a * b;
             a -= ;
             b -= ;
             cout<<a1<<endl;
         }
         a = , b = ;
         for(;i <= n; i++)//后半部分输出
         {
             a1 = a1 - a * b;
             cout<<a1<<endl;
             a += ;
             b += ;
         }
     }
     else//n为偶数
     {
         ll a1 = (n + ) * n / ;//输出第一个
         cout<<a1<<endl;
         ll a =  * n - , b = n - ;
         int i;
         for(i = ; i <= (n + ) / ; i++)//前半部分和之前一样的规律
         {
             a1 = a1 +  + a * b;
             a -= ;
             b -= ;
             cout<<a1<<endl;
         }
         a1 += ;
         cout<<a1<<endl;//中间的特殊规律
         a = , b = ;
         i++;//这里i++保证输出正好n行
         for(;i <= n; i++)//后半部分输出
         {
             a1 = a1 - a * b;
             a += ;
             b += ;
             cout<<a1<<endl;
         }
     }
     return ;
 }

注意坑点：最好所有的变量设成long long,如果n是int的话，计算a1 = (n + 1) * n / 2;的时候会溢出，导致出错。