[一个脑洞] Candy?'s 不饱和度

update 2017.7.10

Candy?'s 不饱和度

题目背景

化学老师让同学们出题！昌老师担任有机组组长！

Candy?出了一道数不饱和度的题目，昌老师不会做所以拒绝接受！！！

于是Candy?又出了一道用 \(Polya定理\) 数卤代烃个数的题目，然后把原来这道题扔给了你。

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题目内容

你有一个有多个环的烷烃的键线式，求他的不饱和度。

值得注意的是，键线式的C原子并没有标出来，并且线可能是直线、斜线或者曲线，上面的C原子数目不定。

下面有几个例子，其中X表示线，0表示空：

1. 1 7
   
   XXXXXXX

   是一个饱和链烃，不一定有几个C，不饱和度是0.

2. 4 7
   
   XXXXXXX
   
   XOOOOOX
   
   XOOOOOX
   
   XXXXXXX

   最简单的情况就是一个4个C的环烷烃，不饱和度为1.

3. 3 7
   
   XXXXX00
   
   0X0X0X0
   
   00XXXXX

   这是一个有两个环的烃，不饱和度是2

   它可能张这个样子

   

4. 4 7
   
   000X000
   
   00X0X00
   
   0X000X0
   
   0XXXXX0

   她的不饱和度是1，样子自行脑补，我懒得画了。

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输入输出 & 数据规模

输入一个n行m列的矩阵，X表示线，0表示空，是一个有机物的键线式。输出他的不饱和度

\(n,m < 1000\)

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样例

Sample Input

4 7
XXXXXXX
XOOOOOX
XOOOOOX
XXXXXXX

Sample Output

1

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下面是题解和标程

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题解

最初的想法来自2016.6.26

那时候觉得复杂环式结构的烷烃不饱和度好神奇，从图论的角度考察了一下，还写了一篇周记。

一年后做化学题又想到了这个东西，拿着它去考灰哥有没有忘记我的周记，结果他随手用了另一种方法，好快好有趣，貌似正确性有待商榷。我尝试卡了一下，发现好像只有平面图成立，然后证明了一下成功了。

后来我发现那就是欧拉公式，并且我的证明和他一模一样，如果我早出生是不是可以叫Candy?公式.......

扔定理就跑：

定理1：任意一个烷烃可以看成无向简单图\(G(V,E)\)，那么他的不饱和度为

\[\mid E\mid - \mid V\mid +1
\]

其中\(V\)是点集，\(E\)是边集

定理2：如果由烷烃得到的图\(G\)是平面图，那么

\[它把平面划分成的区域数(除去最外围平面) = \mid E\mid - \mid V\mid +1
\]

平面图就是能画在平面上使得边仅在顶点处相交的图。

证明去看欧拉公式的吧，不想写。

这样一来对于化学题，一眼就看出不饱和度了。

但是出成OI题的话，如果标出C的位置可以用数分子式的方法很快水过去，所以才变成不确定C原子，这样的话就需要得到上面的定理然后搜一下0组成的连通块数就好了，小心外圈的0没有连起来。

大多数人应该不会这个方法吧，昌老师就不会

Candy? : 你怎么知道这个方法的 (惊恐)

某冰 : 不就应该是这样吗 (一脸鄙视)

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标程

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 105;

int n, m, ans;
char s[N][N]; int dfc, vis[N][N];
inline bool valid(int x, int y) {return x >= 0 && y >= 0 && x <= n && y <= m && s[x][y] != 'X' && !vis[x][y];}
void dfs(int x, int y) {
	vis[x][y] = dfc;
	if(valid(x-1, y)) dfs(x-1, y);
	if(valid(x+1, y)) dfs(x+1, y);
	if(valid(x, y-1)) dfs(x, y-1);
	if(valid(x, y+1)) dfs(x, y+1);
}
int main() {
	freopen("in", "r", stdin);
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%s", s[i]+1);
	n++; m++;
	for(int i=0; i<=n; i++) for(int j=0; j<=m; j++)
		if(s[i][j] != 'X' && !vis[i][j]) dfc++, dfs(i, j);
	printf("%d", dfc-1);
}