浅谈扩展欧几里得算法(exgcd)

在讲解扩展欧几里得之前我们先回顾下辗转相除法：

\[gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$$当$a\%b==0$的时候b即为所求最大公约数
好了切入正题：
简单地来说exgcd函数求解的是$ax+by=gcd(a,b)$的最小正整数解。根据数论的相关知识，一定存在一组解$x,y$使得$ax+by=gcd(a,b)$当且仅当$a$与$b$互质的时候。那就来谈谈具体如何来求解吧。
根据辗转相除法的内容$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$我们可以得到:$$ax_1+by_1=gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=bx_2+a\%by_2······①\]

又由于\(a\%b=a- \lfloor a\div b\rfloor\times b\)

在计算机中\(a\%b= \lfloor a\div b\rfloor\times b=a/b*b%\)所以$$bx_2+a%by_2=bx_2+(a-a/bb)y_2$$

将等式①变形得:$$ax_1+b(y_1+a/ by_2)=ay_2+bx_2$$

因为等式左右两边结构相同我们可以解得：$$\begin{cases}x_1=y_2\y_1=x_2-a/by_2\end{cases}$$

在扩展欧几里得算法的最后一步即\(b=0\)的时候，显然有一对整数\(x=1,y=0\)使得$$a1+b*0=gcd(a,0)$$

那么我们就可以通过编程实现exgcd了，请仔细体验下代码的精妙之处：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
	if(b) {
		int d=exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=a/b*x;
	} else {
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
}