KMP算法深入解析

本文主要介绍KMP算法原理。KMP算法是一种高效的字符串匹配算法，通过对源串进行一次遍历即可完成对字符串的匹配。

1、基础知识的铺垫

字符串T的前k（0 =< k <=tlen）个连续的字符串称为T的前缀（假如T的长度为tlen），则当k<tlen时，其前缀称为真前缀。同理，字符串T的后k个连续的字符串称为T的后缀，k<tlen时其后缀称为真后缀。

假如现在有字符串str=”abbaba”。则该字符串的真前缀有：a, ab, abb, abba, abbab. 其真后缀有：a, ba, aba, baba, bbaba。前缀包括源字符串本身，但真前缀不包括，后缀也一样。空字符串是任何字符串的前缀和后缀。

2、前缀函数next的计算

若一个字符串的真前缀等于后缀，我们称它为相等前后缀（为了表达方便，就用相等前后缀表示前后缀相等的前缀，这是本人取得名字，非专业术语）。

前缀函数next的计算就是计算最大相等前后缀的长度。比如字符串p=”ababaca”中,p[3]的最大相等前后缀为ab。next[3]=len(“ab”)=2。对字符串中每个字符计算next就可以得到一个next数组。

那么如何计算next数组呢？假如现在需要计算p[i]的next值，即next[i]。在计算next[i]时，前面的next[0]~next[i-1]已经计算了出来，这时，其计算过程如下：

令k=next[i-1]。若k>0&& p[i]!=p[k]。则k=next[k-1]。因为数组的下标是从0开始的，所以在比较时使用p[i]与p[k] 比较而不是p[k+1]，而在重新获取k的值时，使用next[k-1]，因为next数组是从0开始的，并且字符串数组也是从0开始计数的，书本上介绍的基本都是从1开始计数的，这是本文与书本之间存在的一点小小区别，但核心思想一样。

关于这点，更通俗的说法是：在计算next[i]时，因为前面的next[i-1]指出了前i-1个字符串的最大相等前后缀。为了计算字符串p[i]的最大相等前后缀的长度，若字符串p[0,1,…, i-1]的最大相等前后缀为p[0,1,…, k-1]（k=next[i-1]）。此时若p[k]==p[i]，则next[i]=k+1。因为这时p[0,1,…, k]==p[i-k, i-k+1, …, i]。

若p[k]!=p[i]，为区别起见，我们用q=next[k-1]。如下图所示，此时比较p[i]与p[q]即p[next[k-1]]。因为p[0, 1, .., k-1]==p[i-k, i-k+1,…, i-1]，p[0, 1,…, q-1 ] == p[k-q, k-q+1, .., k-1]。若此时p[i] == p[q]，则p[i]的最大相等前后缀的长度next[i] = q+1。否则， 如果p[i]!=p[q]，则重复此过程，直到q=0。

关于前缀函数的正确性，算法导论有详细的证明，在此略过。

其前缀函数源代码如下：

int *getprefix(char p[])
{
	int *h, plen, k, i;
	plen = strlen(p);
	h = (int *)malloc(plen*sizeof(int));
	h[0] = 0;
	k=0;
	for(i=1; i<plen; i++)
	{
		while(k>0 && p[k]!=p[i])
			k=h[k-1];
		if(p[k] == p[i])
			k++;
		h[i]=k;
	}
	return h;
}

3、KMP匹配算法的实现

在计算好前缀数组next之后，就可以开始对源字符串进行比对，从源字符串的第0个到最后一个依次进行遍历。这个过程类似计算next数组。只是计算前缀函数的时候是自己与自己进行比较，对每个源串中的字符，若模式串中相应的字符与之不相等，则根据next数组确定模式串中下一个进行比较的字符。

若源串中的字符与模式串中相应的字符相等，则对两个串中的下一个字符进行比较，依次对源串进行一次遍历。

若有模式串匹配成功，则根据next数组将模式串的位置移动指定地方，继续进行比对。

KMP匹配代码如下：

int kmp_matcher(char t[], char p[])		//返回源串中模式串出现的次数
{
	int count;
	int *h, tlen, plen, i, q;
	tlen = strlen(t);
	plen = strlen(p);
	h = getprefix(p);
	count = 0;
	q=0;
	for(i=0; i<tlen; i++)
	{
		while(q>0 && t[i]!=p[q])
			q = h[q-1];
		if(t[i] == p[q])
			q++;
		if(plen == q)
		{
			count++;
			q = h[q-1];
		}
	}
	return count;
}