不能更通俗了！KMP算法实现解析

我之前对于KMP算法理解的也不是很到位，如果很长时间不写KMP的话，代码就记不清了，今天刷leetcode的时候突然决定干脆把它彻底总结一下，这样即便以后忘记了也好查看。所以就有了这篇文章。

本文在于帮助大家理解KMP算法的编码实现，假设大家已经明白了KMP算法的原理。如果还不太理解，请参考阮一峰老师的这篇博文，写的不能更清楚了：）

好吧，现在让我们正式开始。

首先，我们要简单回顾一下KMP算法的流程，假设要在串s中找串p，如下图所示。现在已经匹配了有一段了（绿色部分），但是在某个地方发生了失配（图中红色和黄色小块）。

于是，将p串右移一定距离，再次尝试匹配，如下图所示。

此时，有两种情况。第一种情况是这两块恰好匹配，那么继续匹配下一个元素，就像这样：

另一种情况是不匹配，那么p串就要再次右移一定距离，并再次尝试是否匹配，就像这样：

那么，当失配发生时，p串应该向右移动多长的距离呢？看下图：

很明显，右移的距离 = 原来匹配部分的长度（绿色部分）- 部分匹配值

PS："部分匹配值"就是"前缀"和"后缀"的最长的共有元素的长度

（如果不明白什么是“部分匹配值”，请参本文开头介绍的阮一峰老师的KMP科普文）

所以，要实现KMP算法，必须要计算出p串各个子串的部分匹配长度。通常KMP算法教材所说的next数组（或者其他名字）本质上指的就是这个“部分匹配值”，next[i]表示从0到i的子串的部分匹配值。有时候将next[0]设为-1，那是为了简化编程实现，他们没有本质区别，优化的next数组另说。

那么现在问题来了，怎么求这个next数组呢？

因为知道next数组的意义，所以最笨的方法就是枚举+检验找出部分匹配值，当然这样做显得太low了。其实你可以把这个问题单独考虑成一个动态规划问题——“求一个字符串s的最大前缀后缀匹配长度”。这样想也许有助于你去理解求next数组的代码。对了，有些地方我也觉得写的挺绕口，没办法。。不过只要你能理解我的意思就行，没必要每个词细扣。

好的，现在让我们试着去分析一下如何求next数组。

还是老办法，先假设我们已经求出next[0]到next[i]的值，而现在要求next[i+1]。如下图所示，绿色的部分是next[i]表示的部分匹配长度，也就是从0到i的子串的部分匹配长度。红色小块代表第i+1个元素。

上面的图看着有些别扭，没关系，调整一下，把其中绿色匹配的部分对齐，变成下面这个样子：

那么此时在比较红色和黄色小块的时候也会遇到两种情况：

第一种情况，二者匹配，这是比较好的情况。在这种情况下，next[i+1] = next[i] + 1，然后继续求next[i+2]，就像下图所示的那样。

第二种情况，二者不匹配。如下图所示，此时next[i+1]等于多少就没那么明显了，这里就是求解next唯一的难点。

让我们先把怎么求next[i+1]的问题放在一边，现在假设通过某种方法，我们已经求出了next[i+1]的值，那么就有：

同样，绿色的部分代表next[i+1]的值，即从0到i+1的子串的部分匹配长度。我们再把上图调整一下，让绿色的部分对齐，就像下图一样。

你有没有觉得这个过程很像KMP算法在做字符串匹配？你可以对比本文开头回顾KMP匹配的过程。说实话当我第一次发现这个现象的时候挺震惊的，毕竟，我们为了使用KMP算法才去求next数组，但是在求next数组的时候已经在应用KMP算法做字符串匹配了！

现在你知道怎么求next[i+1]了吧？因为求next[i+1]的过程本身就是一个KMP匹配过程。

好，现在回到求next[i+1]的地方，此时失配了（红色和黄色不匹配），就像这样：

于是我们将p右移一段距离，为了区分，这里把下面的p称作p'，他们其实是一样的。

同样地，我们有：部分匹配长度next[i] = 右移长度 + 部分匹配长度x

请注意，在这里，“右移长度”是我们想要求出来的未知量。不过这里除了“右移长度”外，还有另一个变量不清楚——“部分匹配长度x”。它又等于多少呢？如果我们将上图再画详细一些：

我们可以假设p’在右移前，匹配的部分是从0到j的子串，那么“部分匹配长度x”就是子串p[0..j]的部分匹配长度（注：p[0..j]代表p的从0开始到j结束的子串，下同）。这里有些绕，所以我又画了一张图：

这下就很清楚了，“部分匹配长度x” = 上图中蓝色部分的部分匹配长度 = next[j]。请一定保证你已经完全理解了以上的所有内容然后再继续，这很重要。

注意，next[j]是已知的（因为j一定小于i，而且我们假设next[0]到next[i]事先已经求出来了），所以回想刚才的公式 next[i] = 右移长度 + next[j]，我们可以计算出“右移长度了”！

可别高兴太早，j是多少呢？

其实 j = next[i]。回想next数组的定义，next[i]表示子串p[0..i]的部分匹配长度，而j刚好就是子串p[0..i]的部分匹配长度。补充一下，这里不是很严谨，因为数组从0编号，所以实际上next[i] = j + 1，whatever，你理解我的意思就好。

现在，我们求出了“右移长度”，于是将p右移，就像这样：

好了，现在似乎又回到了一开始的时候（此时j = next[i]）。你又会遇到两种情况。。。于是就这么递归下去了。

好了，以上就是求next数组的全部过程！如果你每一步都弄明白了，相信现在你理解代码就完全没有问题了。

让我们简单看看求next数组的代码。

这里为了方便处理特殊情况，在next数组前加了一个哨兵变量，即next[0] = -1，这样当访问next[0]的时候就知道已经没法再右移了，省去了额外对数组边界的判断。

 void compute_next(char *p, int *next) {
     int i, j;
     i = ;
     j = -;
     next[] = -;
     while (p[i] != '\0') {
          if (j <  || p[i] == p[j]) {
               i++;
               j++;
               next[i] = j;
          }
          else
               j = next[j];
     }
 }

第7行是处理第一种情况，第13行是处理第二种情况，就这么简单。

下面是KMP匹配部分的代码，打印出串s中所有匹配串p的起始索引。这里必须要至少知道串p的长度，因为需要计算匹配的索引（16行）。

 void kmp(char *s, char *p, int *next) {
     int m, n;
     int i, j;
     m = strlen(s);
     n = strlen(p);
     i = ;
     j = ;
     while (i < m && j < n) {
          if (j <  || s[i] == p[j]) {
               i++;
               j++;
          }
          else
               j = next[j];
          if (j == n) {
               printf("match at position %d\n", i - n);
               j = next[j];
           }
      }
 }

是不是和求next数组的代码很像？

最后再啰嗦一句，这也是我在做kmp题的时候被坑过的地方。如果用string保存字符串，那么在比较i、j和字符串的长度s.length()、p.length()时要加上类型转换。即把字符串长度转换成int型，因为字符串长度是无符号类型。如果不加类型转换，当j=-1时，j < p.length()始终是false。

大致总结一下求next数组的特点：

1. 求next数组和KMP字符串匹配的过程是一样的
2. 求next数组是一个递归过程

全文完