hdu 3669 Cross the Wall(斜率优化DP)

题目连接：hdu 3669 Cross the Wall

题意：

现在有一面无限大的墙，现在有n个人，每个人都能看成一个矩形，宽是w，高是h，现在这n个人要通过这面墙，现在只能让你挖k个洞，每个洞不能重叠，每个洞需要消耗你挖的w*h，现在问你最小消耗多少。

题解：

设dp[i][j]为前j个人挖i个洞的最小消耗。

首先我们先将每个人按w排序，我们可以发现，排序后的h是递减的，因为如果不是递减的，可以把那个点消掉，因为w[k]<w[j]&&h[k]<h[j]的话，那么第k个人就可以直接过第j个人的洞。

然后我们可以预处理一下。

然后可以得

dp[i][j]=min{dp[i-1][k]+w[j]*h[k+1]}(k<j)

然后考虑斜率优化

设k>l，对于dp[i][j],第k个人到第j个人通过一个洞比第l个人到第j个人通过一个洞更优

有dp[i-1][k]+w[j]*h[k+1]<=dp[i-1][l]+w[j]*h[l+1];

整理得

dp[i-1][k]-dp[i-1][l]/h[l+1]-h[k+1]<=w[j];

然后单调队列优化一下就好。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
 using namespace std;
 typedef long long ll;

 const int N=5e4+;
 int n,k,Q[N],ed;
 ll dp[][N],ans,inf=1ll<<;
 struct node
 {
     ll w,h;
     bool operator < (const node &b)const{return w<b.w;}
 }a[N],b[N];

 ll getx(int k,int l){return -b[k+].h+b[l+].h;}
 ll gety(int i,int k,int l){return dp[i][k]-dp[i][l];}
 ll check(int i,int j,int k,int l){return gety(i,j,k)*getx(k,l)<=gety(i,k,l)*getx(j,k);}

 int main()
 {
     while(~scanf("%d%d",&n,&k))
     {
         F(i,,n)scanf("%lld%lld",&a[i].w,&a[i].h);
         sort(a+,a++n),ed=;
         F(i,,n)
         {
             while(ed&&a[i].h>b[ed].h)ed--;
             b[++ed]=a[i];
         }
         F(i,,ed)dp[][i]=b[i].w*b[].h;
         F(i,,k)
         {
             int head=,tail=;
             Q[++tail]=i-;
             F(j,i,ed)
             {
                 while(head<tail&&gety(i-,Q[head+],Q[head])<=b[j].w*getx(Q[head+],Q[head]))head++;
                 dp[i][j]=dp[i-][Q[head]]+b[j].w*b[Q[head]+].h;
                 while(head<tail&&check(i-,j,Q[tail],Q[tail-]))tail--;
                 Q[++tail]=j;
             }
         }
         ans=inf;
         F(i,,k)if(ans>dp[i][ed])ans=dp[i][ed];
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }