2023NOIP A层联测9 风信子+P2048 【NOI2010】 超级钢琴 2023

P2048 【NOI2010】 超级钢琴

2023NOIP A层联测9 风信子

一年 OI 一场空，一道原题见祖宗……

Ps：超级钢琴是风信子的前置题。

超级钢琴

题意

在一段序列上，选择长度为 \(x\) 的区间且 \(x\in [L,R]\)，求选择 \(k\) 个区间求和的最大值。

思路

来自洛谷第一篇 Nekroz 的题解。

将区间和变为前缀和，考虑将所有的合法方案的和拉出来排序，时间复杂度不现实，考虑贪心的解决这个问题。

设 \(S(o,l,r)=max(sum[t]-sum[o-1])|l\leq t \leq r\)，即以 \(o\) 为左端点，以 \(t\) 为右端点的区间的和。\(sum\) 是前缀和，\(l,r\) 使得 \(t\) 满足题目限制。

维护 \(sum[t]\) 可以使用 \(ST\) 表 \(O(1)\) 维护。

然后考虑贪心。

我们将每次可以选择最优的 \(S(o,l,r)\)，选择 \(k\) 次就是我们的结果。

初始时，是 \(n\) 个 \(i\ (i\in [1,n])\) 为起点，终点范围最大的区间，这里可以用优先队列维护（用结构体存 \(S(o,l,r)\)，写构造函数比较大小）。

三元组 \(S(o,l,r)\) 选择后，会增加 \(S(o,l,t-1)\) 和 \(S(o,t+1,r)\) 两个答案区间，同时 \(S(o,l,r)\) 这个区间不能再被选中，先弹出不能选的区间，再把这两个玩意丢进堆里。对于 \(l=t\) 或 \(r=t\) 的情况需要特判。

那么这个分裂的正确性在哪里呢？

约定：下文称 \(S(o,l,r)\) 选中后分裂出的三元组为子三元组，\(S(o,l,r)\) 为父三元组。

Q：子三元组有没有可能大于父三元组，导致答案变劣。

A：不难发现，我们分裂出这个三元组的父三元组肯定大于这个三元组（因为起点相同，结束端点父三元组肯定选最大的）。所以只有父三元组被选，子三元组才会被选。

Q：父三元组选择的结束端点影响子三元组的取值，是否存在结束端点使父三元组变略，而使子三元组和父三元组共同的贡献更优。

A：每次三元组本质是一段区间，如果父三元组不选择最大段区间，肯定存在子三元组会选择最大区间，其实分到最后，每一个区间都会出现一次。其实上文的父子三元组单调性也证明了不会出现这种情况。

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int maxn=5e5+5;

int n,k,l,r;
int sum[maxn];

struct Tree
{
    int l,r;
    pair<int,int>mx={-1e9,-1e9};
}tree[maxn*10];

void build(int p,int l,int r)
{
    tree[p].l=l;
    tree[p].r=r;
    if(l==r)
    {
        tree[p].mx=make_pair(sum[l],l);
        return ;
    }
    build(p*2,l,(l+r)>>1);
    build(p*2+1,((l+r)>>1)+1,r);
    tree[p].mx=max(tree[p*2].mx,tree[p*2+1].mx);
}
pair<int,int> query(int p,int l,int r)
{
    if(tree[p].l>r||tree[p].r<l) return make_pair(-1e9,-1e9);
    if(l<=tree[p].l&&tree[p].r<=r) return tree[p].mx;
    return max(query(p*2,l,r),query(p*2+1,l,r));
}

struct element
{
    int o,l,r,t;
    friend bool operator<(element a,element b){return (sum[a.t]-sum[a.o-1])<(sum[b.t]-sum[b.o-1]);}
};
element gt(int o,int l,int r)
{
    return {o,l,r,query(1,l,r).second};
}

priority_queue<element>que;

signed main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&l,&r);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        scanf("%lld",&x);
        sum[i]=sum[i-1]+x;
    }

    build(1,1,n);
    for(int i=1;i+l-1<=n;i++) que.push(gt(i,i+l-1,min(i+r-1,n)));

    int ans=0;
    while(k--)
    {
        int o=que.top().o,l=que.top().l,r=que.top().r,t=que.top().t;
        que.pop();
        ans+=sum[t]-sum[o-1];
        if(t!=l) que.push(gt(o,l,t-1));
        if(t!=r) que.push(gt(o,t+1,r));
    }

    printf("%lld",ans);
}

风信子

题面

有两种操作

1.选择区间 \([l,r]\) 使 \(i\in [l,r]\) 中的 \(a_i\) 都加上 \(x\)。

2.在区间 \([l,r]\) 选择 \(k\) 个数对 \((i,j)\ (i\leq j)\)，求 \(a_i-a_j\) 的和的最大值。

思路

\(50pts\)：查询询问做一次超级钢琴，线段树区间加。

\(15pts(k=1)\)：线段树维护区间答案，对于一个节点，答案可以是左右儿子的答案，也可以是左边最大-右边最小。

\(100pts\)：

超级钢琴中，我们的”候补答案集合“思想是以每个点为起点做一次做三元组。

这显然不够带劲，在这里我们把起点也设成区间，那么也就是：\(S(l,r,l',r')\)，其中 \([l,r]\) 是起点，\([l',r']\) 是终点。

但这样子选择区间后不方便分裂，那么我们考虑，什么样的区间分裂比较方便？

1.起点终点区间完全重合。（\(k=1\) 的做法）

2.起点终点区间没有交集。（起点取区间最大，终点去区间最小）

利用超级钢琴的思想维护优先队列即可。

这里分裂后我们的区间要满足上述两种条件，所以说最终区间如下。

维护很麻烦，但思路简单。

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
#define ls(i) i*2
#define rs(i) i*2+1

const int maxn=1e5+5;
const int inf=1e9;

int n,m;
int a[maxn];

struct Ans
{
    int val,x,y;
    friend bool operator<(Ans a,Ans b){return a.val<b.val;}
    friend bool operator>(Ans a,Ans b){return a.val>b.val;}
};
struct Grid
{
    int val,id;
    friend bool operator<(Grid a,Grid b){return a.val<b.val;}
    friend bool operator>(Grid a,Grid b){return a.val>b.val;}
};
struct node1
{
    int l,r,mx=-inf,mi=inf,mxid,miid,lazy;
    Ans val;
}tree[maxn*10];

inline void updata(int p)
{
    tree[p].val=max(tree[ls(p)].val,tree[rs(p)].val);
    Ans tmp;
    tmp.val=tree[ls(p)].mx-tree[rs(p)].mi;
    tmp.x=tree[ls(p)].mxid,tmp.y=tree[rs(p)].miid;
    tree[p].val=max(tree[p].val,tmp);

    if(tree[ls(p)].mi>tree[rs(p)].mi) tree[p].mi=tree[rs(p)].mi,tree[p].miid=tree[rs(p)].miid;
    else tree[p].mi=tree[ls(p)].mi,tree[p].miid=tree[ls(p)].miid;
    if(tree[ls(p)].mx<tree[rs(p)].mx) tree[p].mx=tree[rs(p)].mx,tree[p].mxid=tree[rs(p)].mxid;
    else tree[p].mx=tree[ls(p)].mx,tree[p].mxid=tree[ls(p)].mxid;
}
inline void push_down(int p)
{
    if(tree[p].l==tree[p].r)
    {
        tree[p].lazy=0;
        return ;
    }
    tree[ls(p)].lazy+=tree[p].lazy;
    tree[ls(p)].mx+=tree[p].lazy;
    tree[ls(p)].mi+=tree[p].lazy;

    tree[rs(p)].lazy+=tree[p].lazy;
    tree[rs(p)].mx+=tree[p].lazy;
    tree[rs(p)].mi+=tree[p].lazy;
    tree[p].lazy=0;
}
inline void build(int p,int l,int r)
{
    tree[p].l=l;
    tree[p].r=r;
    if(l==r)
    {
        tree[p].mx=tree[p].mi=a[l];
        tree[p].mxid=tree[p].miid=l;
        tree[p].val.x=tree[p].val.y=l;
        return ;
    }
    build(ls(p),l,l+r>>1);
    build(rs(p),(l+r>>1)+1,r);
    updata(p);
}
inline Grid gtmi(int p,int l,int r)
{
    push_down(p);
    if(tree[p].l>r||tree[p].r<l) return {inf,inf};
    if(l<=tree[p].l&&tree[p].r<=r) return {tree[p].mi,tree[p].miid};
    return min(gtmi(ls(p),l,r),gtmi(rs(p),l,r));
}
inline Grid gtmx(int p,int l,int r)
{
    push_down(p);
    if(tree[p].l>r||tree[p].r<l) return {-inf,0};
    if(l<=tree[p].l&&tree[p].r<=r) return {tree[p].mx,tree[p].mxid};
    return max(gtmx(ls(p),l,r),gtmx(rs(p),l,r));
}
inline Ans gtans(int p,int l,int r)
{
    push_down(p);
    if(tree[p].l>r||tree[p].r<l) return {-inf,0,0};
    if(l<=tree[p].l&&tree[p].r<=r) return tree[p].val;

    int mid=l+r>>1;
    Ans t=max(gtans(ls(p),l,r),gtans(rs(p),l,r));
    Grid a=gtmx(ls(p),l,r),b=gtmi(rs(p),l,r);
    return max(t,(Ans){a.val-b.val,a.id,b.id});
}
inline void insert(int p,int l,int r,int val)
{
    push_down(p);
    if(tree[p].r<l||tree[p].l>r) return ;
    if(l<=tree[p].l&&tree[p].r<=r)
    {
        tree[p].lazy+=val;
        tree[p].mx+=val;
        tree[p].mi+=val;
        return ;
    }
    insert(ls(p),l,r,val);
    insert(rs(p),l,r,val);
    updata(p);
}

struct preAns
{
    int al,ar,bl,br,val;
    Ans Val()
    {
        if(ar<bl)
        {
            Grid a=gtmx(1,al,ar),b=gtmi(1,bl,br);
            return {a.val-b.val,a.id,b.id};
        }
        else return gtans(1,al,ar);
    }
    friend bool operator<(preAns a,preAns b){return a.val<b.val;}
    friend bool operator>(preAns a,preAns b){return a.val>b.val;}
};

priority_queue<preAns>que;

signed main()
{
    freopen("D.in","r",stdin);
    freopen("D.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);

    build(1,1,n);

    while(m--)
    {
        int op,l,r,k;
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&op,&l,&r,&k);
        if(op==1) insert(1,l,r,k);
        else
        {
            preAns t;
            t.al=t.bl=l,t.ar=t.br=r;
            t.val=t.Val().val;
            que.push(t);
            int sum=0;
            while(k--)
            {
                preAns now=que.top();
                que.pop();
                Ans val=now.Val();
                int x=val.x,y=val.y;
                sum+=now.val;
                if(now.ar<now.bl)
                {
                    if (x > now.al)
                    {
                        t=now;
                        t.ar=x-1;
                        t.val = t.Val().val;
                        que.push(t);
                    }
                    if (now.bl < y)
                    {
                        t=now;
                        t.ar=t.al=x;
                        t.br=y-1;
                        t.val = t.Val().val;
                        que.push(t);
                    }
                    if (y < now.br)
                    {
                        t=now;
                        t.ar=t.al=x;
                        t.bl=y+1;
                        t.val = t.Val().val;
                        que.push(t);
                    }
                    if (x < now.ar)
                    {
                        t=now;
                        t.al=x+1;
                        t.val = t.Val().val;
                        que.push(t);
                    }
                }
                else
                {
                    if(x>now.al)
                    {
                        t=now;
                        t.ar=t.br=x-1;
                        t.val=t.Val().val;
                        que.push(t);

                        t=now;
                        t.ar=x-1,t.bl=x;
                        t.val=t.Val().val;
                        que.push(t);
                    }
                    if(x!=y)
                    {
                        t.al=t.ar=t.bl=t.br=x;
                        t.val=t.Val().val;
                        que.push(t);
                    }
                    if(x<y-1)
                    {
                        t.al=t.ar=x;
                        t.bl=x+1;
                        t.br=y-1;
                        t.val=t.Val().val;
                        que.push(t);
                    }
                    if(y<now.br)
                    {
                        t.al=t.ar=x;
                        t.br=now.br;
                        t.bl=y+1;
                        t.val=t.Val().val;
                        que.push(t);
                    }
                    if(x<now.ar)
                    {
                        t=now;
                        t.al=t.bl=x+1;
                        t.val=t.Val().val;
                        que.push(t);
                    }
                }
            }
            printf("%lld\n",sum);
            while(!que.empty()) que.pop();
        }
    }
}