CF724G Xor-matic Number of the Graph 题解

CF724G Xor-matic Number of the Graph

直接维护异或和之和，显然不可能。由于二进制位相互独立，我们考虑维护每一个二进制位的出现次数，再乘以位权加入结果。

对于路径的维护，我们参考P4151 [WC2011] 最大XOR和路径，分成主路径和若干个环。记路径 \(1\to n\) 的边的异或和为 \(dis[i]\)，任意两点 \(x,y\) 之间的路径的边的异或和可以由 \(dis[x]\oplus dis[y]\) 得到。如果 \(1\to x\) 和 \(1\to y\) 在点 \(z\) 前有重复部分，异或后重复部分消去，留下 \(x\to z\to y\)。否则，如果没有重复部分，则异或后变为 \(x\to 1\to y\)。结论成立。

如果有环的二进制第 \(i\) 位为 \(1\)，那么我们肯定可以使第 \(i\) 位为 \(1\)。如果目前答案第 \(i\) 位为 \(0\)，直接异或，否则不异或。因此，任意一条 \(x\to y\) 的简单路径都第 \(i\) 位都可以为 \(1\)，有 \(C_{n}^2\) 中选法。除了第 \(i\) 位，其他位可以任意选择。方案数为 \(2^{x-1}\)，其中 \(x\) 为线性基大小，即 \(bas[i]\ne0\) 的数的数量。运用乘法原理，再乘上权值，这一位的贡献为：

\[C_{n}^2\times2^{x-1}\times2^i
\]

如果没有环的二进制第 \(i\) 位为 \(1\)，那么走环对于这一位没有影响。此时线性基可以随便选，方案数为 \(2^x\)，其中 \(x\) 为线性基大小。我们只需要统计有多少条简单路径的异或和的第 \(i\) 位为 \(1\) 即可。

结合路径的计算式，\(dis[x]\oplus dis[y]\)，我们继续进行拆位。对每一个 \(dis\)，如果第 \(i\) 位为 \(1\)，则将 \(w_{i,1}\) 加 \(1\)；如果第 \(i\) 位为 \(0\)，则将 \(w_{i,0}\) 加 \(1\)。\(w_{i,1}\) 表示第 \(i\) 位为 \(1\) 的 \(dis\) 的个数，\(w_{i,0}\) 表示第 \(i\) 位为 \(0\) 的 \(dis\) 的个数。如果要让一条路径的权值 \(dis[x]\oplus dis[y]\) 第 \(i\) 位为 \(1\)，则必须在 \(w_{i,1}\) 中和 \(w_{i,0}\) 中各选一个。根据乘法原理，方案数为 \(w_{i,0}\times w_{i,1}\)。运用乘法原理，再乘上权值，这一位的贡献为：

\[w_{i,0}\times w_{i,1}\times2^{x}\times2^i
\]

代码中这一部分实现方式略微不同，其中 \(ct[i]\) 表示 \(w_{i,1}\)，\(pos-ct[i]\) 表示 \(w_{i,0}\)。

注意图不一定联通，对于每个联通块分别计算即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge
{
	long long v,nxt,d;
}e[800000];
long long n,m,u,v,d,h[800000],bas[100],book[800000],dis[800000],ct[100],p[800000],cnt=1,ans=0,siz=0,pos=0;
const long long mod=1e9+7;
void add_edge(long long u,long long v,long long d)
{
	e[++cnt].nxt=h[u];
	e[cnt].v=v;
	e[cnt].d=d;
	h[u]=cnt;
}

void insert(long long x)
{
	for(int i=63;i>=0;i--)
	    if((x>>i)&1)
	       {
	       	if(bas[i]!=0)x^=bas[i];
	       	else
			   {
			   siz++,bas[i]=x;
			   break;
		       }
		   }
}

void dfs(long long now,long long pre,long long dn)
{
	book[now]=1,dis[now]=dn,pos++;
    for(int i=63;i>=0;i--)
		if((dn>>i)&1)ct[i]++;
	for(int i=h[now];i;i=e[i].nxt)
	    if(i!=(pre^1))
	       {
	       	if(book[e[i].v])insert(dis[now]^dis[e[i].v]^e[i].d);
			else dfs(e[i].v,i,dn^e[i].d);
		   }
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
    p[0]=1;
    for(int i=1;i<=63;i++)p[i]=p[i-1]*2%mod;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	    {
	    	scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&d);
	    	add_edge(u,v,d),add_edge(v,u,d);
		}
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!book[i])
            {
            memset(bas,0,sizeof(bas)),memset(ct,0,sizeof(ct));
            pos=siz=0;
            dfs(i,0,0);
            long long flag=0;
            for(int j=63;j>=0;j--)flag|=bas[j];
            for(int j=63;j>=0;j--)
                if((flag>>j)&1)ans=(ans+pos*(pos-1)%mod*500000004%mod*p[siz-1]%mod*p[j]%mod)%mod;
                else ans=(ans+ct[j]*(pos-ct[j])%mod*p[siz]%mod*p[j]%mod)%mod;
            }
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}