CF724G Xor-matic Number of the Graph（线性基+组合数）

题目描述

给你一个无向图，有n个顶点和m条边，每条边上都有一个非负权值。

我们称一个三元组(u,v,s)是有趣的，当且仅当对于u,v,有一条从u到v的路径(可以经过相同的点和边多次)，其路径上的权值异或和为 s 。对于一条路径，如果一条边经过了多次，则计算异或和时也应计算多次。不难证明，这样的三元组是有限的。

计算所有有趣的三元组中s的和对于1e9+7的模数

题解

不知道线性基是什么东西的可以看看蒟蒻的总结

线性基神仙题

首先异或和肯定得用线性基

然后路径肯定得找出所有环

那么先dfs一遍，找出到每个点的任意一条路径，然后把所有的环都给扔进线性基里面，

考虑接下来怎么做

经过深(kan)思(le)熟(ti)虑(jie)，我们发现每一个连通块里的所有点都要两两统计答案，那么我们要根据xor采取一个方法：二进制逐位统计

假设从大到小考虑第$k$位，此时所有点可以分为两类，第$k$位为0或第$k$位为1

先考虑两个点全0或全1的情况，这种情况下两个点异或起来第$k$位为0，对答案没有贡献，那么只有在线性基里存在第$k$位为1的数，异或上这两个点才能使其对答案有贡献

那么这个基必须选，然后剩下的基有$2^{cnt-1}$种选法（$cnt$为线性基里的元素个数），这一位对答案的贡献就是$2^{cnt-1}*2^{k}$

然后不同为0或1的情况同理，这个基必须不能选，剩下的基的选法如上

ps：我上面两个基必须选或不选只是打个比方，真正的意思是把这一个基拿出来，那么如果剩下的异或出来第$k$位是否为0，都能通过异或上这一个数使其第$k$位变为1（如果已经是1就不用异或了），所以剩下的数怎么组合都没有关系，方案数肯定是那么多

然后剩下的……看代码好了

 //minamoto
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #define ll long long
 using namespace std;
 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 inline ll read(){
     #define num ch-'0'
     char ch;bool flag=;ll res;
     while((ch=getc())>''||ch<'')
     (ch=='-')&&(flag=true);
     for(res=num;(ch=getc())<=''&&ch>='';res=res*+num);
     (flag)&&(res=-res);
     #undef num
     return res;
 }
 const int N=4e5+,mod=1e9+;
 ll ans;
 int n,m,top,cnt,cir,u,v;ll e;
 int head[N],q[N],ver[N<<],Next[N<<],tot;ll edge[N<<];
 ll b[],bin[],circle[N],dis[N],dig[];
 inline void add(int u,int v,ll e){
     ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot,edge[tot]=e;
 }
 void dfs(int u,int fa,ll d){
     dis[u]=d,q[++top]=u;
     for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
         int v=ver[i];
         if(v!=fa){
             if(dis[v]==-) dfs(v,u,dis[u]^edge[i]);
             else circle[++cir]=dis[u]^dis[v]^edge[i];
         }
     }
 }
 inline void insert(ll x){
     for(int i=;i>=;--i)
     if(x>>i&){
         if(!b[i]) return (void)(b[i]=x,++cnt);
         x^=b[i];
     }
 }
 void init(){
     memset(b,,sizeof(b)),cnt=;
     for(int i=;i<=cir;++i) insert(circle[i]);
 }
 void calc(){
     init();
     for(int j=;j<=;++j){
         bool flag=;dig[]=dig[]=;
         for(int i=;i<=top;++i) dig[dis[q[i]]>>j&]++;
         for(int i=;i<=;++i)
         if(b[i]>>j&){flag=;break;}
         ll res;
         if(flag){
             res=(dig[]*(dig[]-)/+dig[]*(dig[]-)/)%mod;
             if(cnt) (res*=bin[cnt-])%=mod;
             (res*=bin[j])%=mod;
             (ans+=res)%=mod;
         }
         res=dig[]*dig[]%mod;
         if(flag){if(cnt) (res*=bin[cnt-])%=mod;}
         else (res*=bin[cnt])%=mod;
         (res*=bin[j])%=mod;
         (ans+=res)%=mod;
     }
 }
 int main(){
 //    freopen("testdata.in","r",stdin);
     memset(dis,-,sizeof(dis));
     bin[]=;for(int i=;i<=;++i) bin[i]=(bin[i-]<<)%mod;
     n=read(),m=read();
     for(int i=;i<=m;++i){
         u=read(),v=read(),e=read();
         add(u,v,e),add(v,u,e);
     }
     for(int i=;i<=n;++i)
     if(dis[i]==-)
     top=cir=,dfs(i,,),calc();
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }