P2034 选择数字 / P2627 [USACO11OPEN]Mowing the Lawn G

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题目描述

给定一行 \(n\) 个非负整数 \(a[1]..a[n]\) 。现在你可以选择其中若干个数，但不能有超过 \(k\) 个连续的数字被选择。你的任务是使得选出的数字的和最大。

输入格式

第一行两个整数 \(n\) ，\(k\)

以下n行，每行一个整数表示 \(a[i]\)。

输出格式

输出一个值表示答案。

输入输出样例

输入 #1

5 2
1
2
3
4
5

输出 #1

12

说明/提示

对于20%的数据，n <= 10

对于另外20%的数据， k = 1

对于60%的数据，n <= 1000

对于100%的数据，1 <= n <= 100000，1 <= k <= n，0 <= 数字大小 <= 1,000,000,000

时间限制500ms

---

没错，我又来水题啦。

首先，我们会想到 O(\(n^2\) ) 的dp

设 \(f[i]\) 表示从前 \(i\) 个数的最大价值。

那么就会有转移

\(f[i] = max(f[i], f[i-k-1] + sum[i] - sum[i-k+1-1])\) (后面我拆开写主要是为了好理解，实际上化简一下就可以)。

\(k\) 是我们枚举的要选的连续的数的个数，即区间长度。

这样肯定会 TLE 得啦。

但有没有觉得这个柿子很熟悉，这不就是求 \(i-k-1 , i\) 的最大值。

直接上单调队列优化，记得一开始要把前 \(k\) 个点先入队，在去更新其他的。

我们更新 \(i\) 的时候，要先把 \(i\) 入队在更新，因为他可以取到 \(i\) 也就相当于不选这个数。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define int long long
int n,k,x,head,tail;
int sum[100010],f[100010],q[100010];
inline int read()
{
	int s = 0, w = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){s =s * 10+ch - '0'; ch = getchar();}
	return s * w;
}
signed main()
{
	n = read(); k = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		x = read();
		sum[i] = sum[i-1] + x;//维护一个前缀和
	}
	head = 1, tail = 0;
	q[++tail] = 0;
	for(int i = 1; i <= k; i++)//先把前k的点入队
	{
		f[i] = sum[i];
		while(head <= tail && f[q[tail] - 1] - sum[q[tail]] <= f[i-1] - sum[i]) tail--;
		q[++tail] = i;
	}
	for(int i = k+1; i <= n; i++)
	{
		while(head <= tail && q[head] < i - k) head++;//把过期的扔掉
		while(head <= tail && f[q[tail]-1] - sum[q[tail]] <= f[i-1] - sum[i]) tail--;//把不优的情况也扔掉
		q[++tail] = i;	//先入队在更新
		f[i] = f[q[head]-1] + sum[i] - sum[q[head]];
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}

另外还有一道双倍经验的题 P2627 [USACO11OPEN]Mowing the Lawn G。

这个题和上面那道题差不多，只不过有个小细节是要让节点先更新在入队（至于为什么自己可以想想）。