【题解】小Z的袜子

期末考试结束了，来写写blog吧

题目描述

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……

具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。

你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

然而数据中有L=R的情况，请特判这种情况，输出0/1。

输入输出格式

输入格式：

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

输出格式：

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

样例输入：

6 4

1 2 3 3 3 2

2 6

1 3

3 5

1 6

样例输出：

2/5

0/1

1/1

4/15

解：

先来推一波式子

对于[l,r]区间来看，选袜子的方案数为：

（r-l+1)*(r-l)

题目要求求区间选中相同袜子的概率，即

设cnt[i]为颜色是i的袜子的出现次数（[l,r]区间内）

sigma（i=0~n)cnt[i]*cnt[i-1]*[cnt[i]>=2)]

写一个gcd(手写比较快)，同时除以gcd即可。特判l==r以及无解情况。

莫队，离线排序，维护区间平方和。

注意算出平方和后要减去区间长度。

换一种推式子的方法亦可：

设有a...x中颜色的袜子，那么有：

（a*(a-1)/2+b*(b-1）/2+...)/[(r-l+1)*(r-l)]

里面化简得

(a²+b²+...-(a+b+...))/[(r-l+10*(r-l)]

即(a²+b²+...-(r-l+1))/[(r-l+1)*(r-l)]

代码：

// luogu-judger-enable-o2

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<string>

#include<algorithm>

#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAXN=500005;

inline void read(int &x){

    ll s=0,w=1;

    char ch=getchar();

    while(ch<'0'||ch>'9'){

        if(ch=='-')w=-1;

        ch=getchar();

    }while(ch>=48&&ch<='9'){

        s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48);

        ch=getchar();

    }x=s*w;

}

ll ans,cnt[MAXN];

int n,m,a[MAXN],block;

struct node{

    int l,r,id;

    ll a,b;

}q[MAXN];

inline bool cmp(node a,node b){

    return (a.l/block)^(b.l/block)?a.l<b.l:(((a.l/block)&1)?a.r<b.r:a.r>b.r);

}

inline void update(ll x,ll add){

    ans-=cnt[a[x]]*cnt[a[x]];

    cnt[a[x]]+=add;

    ans+=cnt[a[x]]*cnt[a[x]];

}

inline bool cmpi(node a,node b){

    return a.id<b.id;

}

inline ll gcd(ll a,ll b){

    return !b?a:gcd(b,a%b);

}

int main(){

    read(n);read(m);

    for(int i=1;i<=n;++i)read(a[i]);

    block=sqrt(n);

    for(int i=1;i<=m;++i){

        read(q[i].l);

        read(q[i].r);

        q[i].id=i;

    }sort(q+1,q+m+1,cmp);

    for(int i=1,l=1,r=0;i<=m;++i){

        int ql=q[i].l,qr=q[i].r;

        while(l<ql)update(l,-1),l++;

        while(l>ql)update(--l,1);

        while(r<qr)update(++r,1);

        while(r>qr)update(r,-1),r--;

        if(ql==qr){

            q[i].a=0;

            q[i].b=1;

            continue;

        }

        q[i].a=ans-(qr-ql+1);

        q[i].b=(qr-ql+1)*1LL*(qr-ql);

        long long g=gcd(q[i].a,q[i].b);

        q[i].a/=g;q[i].b/=g;

    }sort(q+1,q+m+1,cmpi);

    for(int i=1;i<=m;++i)printf("%lld/%lld\n",q[i].a,q[i].b);

    return 0;

}