vjudge CountTables/2018雅礼集训 方阵 dp 斯特林反演

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神题！

首先单独考虑行不同的情况

设\(f_i\)表示此时有i列且 行都不同.

那么显然有 \(f_i=(c^i)^\underline{n}\)

考虑设\(g_i\)表示此时有i列且 行列都不同.

考虑将\(g_i\)和\(f_i\)联系起来.

那么对于 \(f_m\) 考虑其有k列是本质不同的

那么有m-k列重复出现的 考虑把这m-k列给缩起来就变成了 n行k列 且行列都不同的矩阵了.

而且可以发现对于n行k列 且行列都不同的矩阵和有k列本质不同且不讲究分配顺序下是一一映射的关系.

那么有 \(f_m=\sum_{k=0}^m\begin {Bmatrix} m \\ k\end {Bmatrix}\cdot g_k\)

然后直接斯特林反演.(和二项式反演似乎差不多.

\(g_m=\sum_{k=0}^m(-1)^{m-k}\left[\begin{matrix}m\\k\end{matrix}\right]f_k\)

然后就做完了 复杂度n^2.

code

//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<bitset>
#include<set>
#include<map>
#define ll long long
#define db double
#define INF 10000000000000000ll
#define inf 1000000000
#define ldb long double
#define pb push_back
#define put_(x) printf("%d ",x);
#define get(x) x=read()
#define gt(x) scanf("%d",&x)
#define gi(x) scanf("%lf",&x)
#define put(x) printf("%d\n",x)
#define putl(x) printf("%lld\n",x)
#define rep(p,n,i) for(RE int i=p;i<=n;++i)
#define go(x) for(int i=lin[x],tn=ver[i];i;tn=ver[i=nex[i]])
#define fep(n,p,i) for(RE int i=n;i>=p;--i)
#define vep(p,n,i) for(RE int i=p;i<n;++i)
#define pii pair<int,int>
#define mk make_pair
#define RE register
#define P 1000000007ll
#define gf(x) scanf("%lf",&x)
#define pf(x) ((x)*(x))
#define uint unsigned long long
#define ui unsigned
#define EPS 1e-10
#define sq sqrt
#define S second
#define F first
#define mod 1000000007
using namespace std;
char *fs,*ft,buf[1<<15];
inline char gc()
{
	return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
}
inline int read()
{
	RE int x=0,f=1;RE char ch=gc();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=gc();}
	return x*f;

}
const int MAXN=4010;
int n,m,c;
int f[MAXN];
int s[MAXN][MAXN];
inline int ksm(int b,int p)
{
	int cnt=1;
	while(p)
	{
		if(p&1)cnt=(ll)cnt*b%mod;
		b=(ll)b*b%mod;p=p>>1;
	}
	return cnt;
}
class CountTables
{
	public:
	//freopen("1.in","r",stdin);
	inline int howMany(int n,int m,int c){

	s[0][0]=1;
	rep(1,m,i)rep(1,i,j)s[i][j]=(s[i-1][j-1]+(i-1)*(ll)s[i-1][j])%mod;
	rep(1,m,i)
	{
		int ww=ksm(c,i);f[i]=1;
		for(int j=ww-n+1;j<=ww;++j)f[i]=(ll)f[i]*j%mod;
	}
	//put(f[m]);
	int ans=0;
	rep(0,m,k)
	{
		int op=((m-k)&1)?-1:1;
		ans=(ans+op*s[m][k]*(ll)f[k])%mod;
	}
	ans=(ans+mod)%mod;
	return ans;
}
};