[JZOJ3234] 阴阳

题目

题目大意

有一棵树，每条边有\(0\)或\(1\)两种颜色。

求满足存在\((u,v)\)路径上的点\(x\)使得\((u,x)\)和\((x,v)\)路径上的两种颜色出现次数相同的点对\((u,v)\)数量。

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思考历程

在看到这题之前我就已经知道这题是点分治了……

然而看了题目后，很长一段时间搞错了题目大意……

后来终于搞懂了题目大意，于是开始想正解。

想了半天，心态崩了……点分治我在差不多一年前才打过一题啊！

很久后搜题解，粗略看一看，没有一个看得懂……

于是又开始自己刚……然后刚出来了……

结果WA了……

调了不知道多久，终于AC……

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正解

正解就是点分治啦……

显然的思路是将\(0\)颜色的边权值记为\(1\)，\(1\)颜色的边权值记为\(-1\)。

如果\((u,v)\)满足条件，一定有点\(x\)使得\((u,x)\)和\((x,v)\)路径上的权值和为\(0\)。

现在设重心为\(root\)，现在我们要求的路径必须经过\(root\)。

求出每个点到\(root\)路径上的权值和\(dis_x\)。

显然，如果\((u,v)\)满足条件，一定有\(dis_u+dis_v=0\)。

还有一个条件是存在\(u\)或\(v\)的祖先\(x\)，使得\(dis_x=dis_u\)或\(dis_x=dis_v\)。

然后我们就搬出几个桶……

设\(tot_i\)表示\(dis\)值为\(i\)的点的数量，\(can_i\)表示\(dis\)值为\(i\)并且其祖先有\(dis\)值和它相同的点的数量。这两个都是前面计算过的\(root\)的所有子树的。同理，设\(sub_i\)和\(scn_i\)，意义相同，表示现在正在计算的这个子树的。

\(sub_i\)的计算方法显然，至于\(scn_i\)，我们在\(dfs\)的过程中再维护一个桶\(anc_i\)，表示\(dis\)值为\(i\)的祖先有多少个，这样就可以快速判断了。

\(tot_i\)和\(can_i\)可以由后两者累加而得。

计算答案的时候，枚举\(dis\)值，用前面四个桶里的值来计算，具体来说，如果\((u,v)\)能被算入答案中，则\(u\)和\(v\)至少有一个在\(can\)或\(scn\)中。

注意，我们还没有计算\(v=root\)的情况。针对这种情况，我们维护一个\(cnt0\)，在\(dfs\)的时候遇到\(anc_{dis_i}>1\)时，便意味着除了\(root\)之外，还有一个和它\(dis\)值相同的祖先，那就将其加入\(cnt0\)中。答案加上\(cnt0\)即可。

所以说实际上这是一道点分治的模板题啊……

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cassert>
#define N 100010
int n;
struct EDGE{
	int to,len;
	EDGE *las;
	bool ok;
} e[N*2];
int ne;
EDGE *last[N];
inline void link(int u,int v,int len){
	e[ne]={v,len,last[u],1};
	last[u]=e+ne++;
}
#define rev(ei) (e+(int((ei)-e)^1))
long long ans;
int siz[N],all;
void get_siz(int x,int fa){
	siz[x]=1;
	for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
		if (ei->to!=fa && ei->ok){
			get_siz(ei->to,x);
			siz[x]+=siz[ei->to];
		}
}
int find(int x,int fa){//找重心
	bool bz=(all-siz[x]<<1<=all);
	for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
		if (ei->to!=fa && ei->ok){
			int tmp=find(ei->to,x);
			if (tmp)
				return tmp;
			bz&=(siz[ei->to]<<1<=all);
		}
	if (bz)
		return x;
}
int dis[N];
int _tot[N*2],*tot=_tot+N;//为了代码方便，所以用指针来处理了……
int _sub[N*2],*sub=_sub+N;
int _can[N*2],*can=_can+N;
int _scn[N*2],*scn=_scn+N;
int cnt0;
int _anc[N*2],*anc=_anc+N;
int mn,mx,smn,smx;//记录mn,mx是为了方便清空桶。
void get_dis(int x,int fa){
	smn=min(smn,dis[x]),smx=max(smx,dis[x]);
	sub[dis[x]]++;
	if (anc[dis[x]]){
		scn[dis[x]]++;
		if (anc[dis[x]]>1 && dis[x]==0)
			cnt0++;
	}
	anc[dis[x]]++;
	for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
		if (ei->to!=fa && ei->ok){
			dis[ei->to]=dis[x]+ei->len;
			get_dis(ei->to,x);
		}
	anc[dis[x]]--;
}
void divide(int x){
	get_siz(x,0);
 	all=siz[x];
	int root=find(x,0);
	dis[root]=0;
	mn=INT_MAX,mx=INT_MIN;
	anc[0]=1;
	for (EDGE *ei=last[root];ei;ei=ei->las)
		if (ei->ok){
			smn=INT_MAX,smx=INT_MIN;
			cnt0=0;
			dis[ei->to]=dis[root]+ei->len;
			get_dis(ei->to,root);
			for (int j=smn;j<=smx;++j)
				ans+=1ll*sub[j]*can[-j]+1ll*scn[j]*tot[-j]-1ll*scn[j]*can[-j];//容斥原理
			ans+=cnt0;
			for (int j=smn;j<=smx;++j){
				tot[j]+=sub[j],sub[j]=0;
				can[j]+=scn[j],scn[j]=0;
			}
			mn=min(mn,smn);
			mx=max(mx,smx);
		}
	anc[0]=0;
	for (int i=mn;i<=mx;++i)
		tot[i]=can[i]=0;
	for (EDGE *ei=last[root];ei;ei=ei->las)
		if (ei->ok){
			ei->ok=rev(ei)->ok=0;
			divide(ei->to);
		}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<n;++i){
		int u,v,type;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&type);
		link(u,v,type==0?1:-1);
		link(v,u,type==0?1:-1);
	}
	divide(1);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

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总结

点分治的题目还是打得太少了……