【JZOJ3238】【BZOJ3482】超空间旅行

description

在遥远的未来，行星之间的食品运输将依靠单向的贸易路线。每条路径直接连接两个行星，且其运输时间是已知的。

贸易商协会打算利用一项最近发现的新技术——超空间旅行，以增加一些新的航线。通过超空间旅行的航线也是单向的。由于该项技术仍处于试验阶段，超空间旅行的时间目前是未知的，但它不取决于行星之间的距离，所以每个超空间旅行的路线将花费等量的时间。

下图是三个相互联通的行星及其运输时间的例子。行星使用正整数标号，超空间旅行时间记为“x”（图片对应第二个输入样例）：

运输时间以天计，并且始终是一个正整数。

贸易商协会希望对引进新航线的结果进行分析：对于某两个行星A和B，他们想知道对于任意的x，从A到B的最短路径的总运输时间的所有可能的值。例如，在上述情况中，从星球2到星球1的最短路径所需时间可以取值5（如果x≥5），4，3，2，或1天（如果x<5）

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analysis

• 最短路\(+\)凸包

• 对于一条路径，肯定是\(0x+b_0,x+b_1,2x+b_2\)这样的一次函数

• 可以先跑最短路，\(f[i][j]\)表示到从\(S\)开始到第\(i\)位经过了\(j\)条\(x\)边的最小常数值

• 若\(f[T]\)全为\(∞\)，则无解；若\(f[T][0]\)为\(∞\)，即没有一条确定值的路径，则有无数解

• 跑完最短路，得到了一些一次函数，然后栈维护一个上凸壳

• 若栈顶与当前函数交点的横坐标小于栈顶两个函数交点的横坐标，则该函数更优，不断出栈即可

• 求出一个上凸壳后，函数两两交点之间的线段即为某函数的贡献值，计算求和

• 注意算上常值函数的贡献

• 本子\(OJ\)艹过去了，垃圾\(JZOJ\)对\(dij\)的优先队列极不友好所以\(T\)飞了

• 感觉最近思维僵化，这个最短路模型和记几没有结合一起思考，还要再多巩固一下记几知识

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code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define MAXN 505
#define MAXM 20005
#define INF 1000000007
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)
#define rep(i,a) for (reg i=last[a];i;i=next[i])

using namespace std;

ll last[MAXM],next[MAXM],tov[MAXM],len[MAXM];
ll f[MAXN][MAXN];
ll n,m,q,tot,S,T;
bool bz[MAXN];

struct node
{
	ll x,y,z;
	friend bool operator<(node a,node b){return a.z>b.z;}
};
priority_queue<node>que;
struct line
{
	double k,b;
	line(){}
	line(double kk,double bb){k=kk,b=bb;}
}stack[MAXN];
double cor[MAXN];
__attribute__((optimize("-O3")))
inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	if (ch=='x')return 0;
	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
__attribute__((optimize("-O3")))
inline void link(ll x,ll y,ll z)
{
	next[++tot]=last[x],last[x]=tot,tov[tot]=y,len[tot]=z;
}
__attribute__((optimize("-O3")))
inline void dijkstra()
{
	memset(f,64,sizeof(f));
	que.push((node){S,0,0}),f[S][0]=0;
	while (!que.empty())
	{
		node now=que.top();que.pop();
		ll x=now.x,y=now.y,z=now.z;
		if (z>f[x][y])continue;
		rep(i,x)if (!len[i])
		{
			if (y==n)continue;
			node tmp={tov[i],y+1,z};
			if (f[x][y]<f[tov[i]][y+1])
			{
				f[tov[i]][y+1]=f[x][y];
				que.push(tmp);
			}
		}
		else
		{
			node tmp={tov[i],y,z+len[i]};
			if (f[x][y]+len[i]<f[tov[i]][y])
			{
				f[tov[i]][y]=f[x][y]+len[i];
				que.push(tmp);
			}
		}
	}
}
__attribute__((optimize("-O3")))
inline double get(double k1,double b1,double k2,double b2)
{
	return (b2-b1)/(k1-k2);
}
__attribute__((optimize("-O3")))
int main()
{
	freopen("T3.in","r",stdin);
	n=read(),m=read();
	fo(i,1,m)
	{
		ll x=read(),y=read(),z=read();
		link(x,y,z);
	}
	q=read();
	while (q--)
	{
		S=read(),T=read(),dijkstra();bool flag=1;
		fo(i,0,n)if (f[T][i]<INF){flag=0;break;}
		if (flag){printf("0 0\n");continue;}
		if (f[T][0]>INF){printf("inf\n");continue;}
		ll top=0,sum=0;
		fd(i,n,0)
		{
			if (f[T][i]==INF)continue;
			while (top && get(stack[top].k,stack[top].b,i,f[T][i])<=cor[top])--top;
			stack[++top]=line(i,f[T][i]);
			if (top>1)cor[top]=get(stack[top-1].k,stack[top-1].b,stack[top].k,stack[top].b);
		}
		fo(i,1,top-1)
		{
			ll l=(ll)cor[i],r=(ll)cor[i+1];
			if (l<r)sum+=(l+r+1)*(r-l)/2*stack[i].k+stack[i].b*(r-l);
		}
		ll num=(ll)cor[top];
		if (cor[top]!=num || top==1)++num,sum+=f[T][0];
		printf("%lld %lld\n",num,sum);
	}
	return 0;
}