C++ 备忘录 （1）

• 取模：

　　1. 转载自：http://ceeji.net/blog/mod-in-real/

 背景

 最近在一道 Java 习题中，看到这样的一道题：

 What is the output when this statement executed:
 System.out.printf(- % );

 正整数的取余运算大家都很熟悉，但是对于负数、实数的取余运算，确实给人很新鲜的感觉。于是我对此进行了一些探索。我发现，这里面还是颇有一点可以探索的东西的。

 探究

 首先，看看自然数的取模运算（定义1）:

 如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = qd + r 且0 ≤ r < d。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

 那么对于负数，是否可以沿用这样的定义呢？我们发现，假如我们按照正数求余的规则求 (-) mod  的结果，就可以表示 - 为 (-)*  +。其中，2是余数，-3是商。

 那么，各种编程语言和计算器是否是按照这样理解的呢？下面是几种软件中对此的理解。

 语言    语句    输出
 C++（G++ 编译）    cout << (-) % ;    -
 Java（1.6）    System.out.println((-) % );    -
 Python 2.6    (-) %
 百度计算器    (-) mod
 Google 计算器    (-) mod
 可以看到，结果特别有意思。这个问题是百家争鸣的。看来我们不能直接把正数的法则加在负数上。实际上，在整数范围内，自然数的求余法则并不被很多人所接受，大家大多认可的是下面的这个定义2。

 如果a 与d 是整数，d 非零，那么余数 r 满足这样的关系：

 a = qd + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。

 可以看到，这个定义导致了有负数的求余并不是我们想象的那么简单，比如，- 和  都是 (-) mod  正确的结果，因为这两个数都符合定义。这种情况下，对于取模运算，可能有两个数都可以符合要求。我们把 - 和  分别叫做正余数和负余数。通常，当除以d 时，如果正余数为r1，负余数为r2，那么有

 r1 = r2 + d

 对负数余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于处理关键任务的系统，错误的选择会导致严重的后果。

 看完了 (-) mod ，下面我们来看一看  mod (-) 的情况（看清楚，前面是  带负号，现在是  带负号）。根据定义2， = (-) * (-) +  或7 = (-) * (-) -，所以余数为  或 -。

 语言    语句    输出
 C++（G++ 编译）    cout <<  % (-);
 Java（1.6）    System.out.println( % (-));
 Python 2.6     % (-)    -
 百度计算器     mod (-)    -
 Google 计算器     mod (-)    -
 从中我们看到几个很有意思的现象：

 Java 紧随 C++ 的步伐，而 Python、Google、百度步调一致。难道真是物以类聚？联想一下，Google 一直支持 Python，Python 也颇有 Web 特色的感觉，而且 Google Application Engine 也用的 Python，国内的搜索引擎也不约而同地按照 Google 的定义进行运算。
 可以推断，C++ 和 Java 通常会尽量让商更大一些。比如在 (-) mod 3中，他们以 - 为商，余数为 -。在 Python 和 Google 计算器中，尽量让商更小，所以以 - 为商。在  mod (-) 中效果相同：C++ 选择了  作为商，Python 选择了  作为商。但是在正整数运算中，所有语言和计算器都遵循了尽量让商小的原则，因此  mod  结果为  不存在争议，不会有人说它的余数是-。
 如果按照第二点的推断，我们测试一下 (-) mod (-)，结果应该是前一组语言（C++，Java）返回 ，后一组返回 -。（请注意这只是假设）
 于是我做了实际测试：

 语言    语句    输出
 C++（G++ 编译）    cout << - % (-);    -
 Java（1.6）    System.out.println(- % (-));    -
 Python 2.6    - % (-)    -
 百度计算器    - mod (-)    -
 Google 计算器    - mod (-)    -
 结果让人大跌眼镜，所有语言和计算机返回结果完全一致。

 总结

 我们由此可以总结出下面两个结论：

 对于任何同号的两个整数，其取余结果没有争议，所有语言的运算原则都是使商尽可能小。
 对于异号的两个整数，C++/Java语言的原则是使商尽可能大，很多新型语言和网页计算器的原则是使商尽可能小。
 拓展

 最后是拓展时间。对于实数，我们也可以定义取模运算（定义3）。

 当 a 和 d 是实数，且d 非零, a 除以 d 会得到另一个实数（商），没有所谓的剩余的数。但如果要求商为一个整数，则余数的概念还是有必要的。可以证明：存在唯一的整数商 q 和唯一的实数 r 使得: a = qd + r,  ≤ r < |d|. （转自维基百科）

 如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要，尽管如此，很多程序语言都实现了这个定义。至于哪些程序语言实现了这个定义，就留给大家自己探究吧！

　　

　　2. 5%7=5 　　4%9=4

　　　 小数除大数商0余本身

• while后如果没有花括号"{" "}"，则默认紧跟着while的那一句是循环体。
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