BEST 定理与矩阵树定理的证明

BEST 定理：计算有向图的欧拉回路数量

欧拉图 \(G\) 的欧拉回路个数为 \(T_s(G)\prod(out_i-1)!\)，其中 \(T_s(G)\) 代表以 \(s\) 为根的内向树个数，\(out_i\) 代表点 \(i\) 的出度。同时由此可见，对于一个欧拉图，其任意一个点为根的内向树个数相同。

证明：

除去点 \(s\)，考虑其它点在欧拉回路上的最后一条出边 \(e\)，它们一定形成一棵以 \(s\) 为根的内向树，因为如果有环，那么显然与所有边都最后一次出现矛盾。然后将所有点其余的出边按随意顺序排列，方案数为 \(out_s!\prod\limits_{i\neq s}(out_i-1)!\)，发现每种排法可以唯一对应一种欧拉回路，每种欧拉回路也能唯一找到一棵这样的生成树。但是注意这样的排法中每 \(out_s\) 条路径是循环同构的，要除掉，于是答案即为 \(T_s(G)\prod(out_i-1)!\)。

矩阵树定理的证明

这里只写有向图内向树的证明，其余两者类似。

写一下式子：\(\sum\limits_{p}(-1)^{\tau(p)}\sum\limits a_{i,p_i}\)。

考虑组合意义：对于一个排列 \(p\)，如果 \(i\neq p_i\)，那么视为选择了一条 \(i\rightarrow p_i\) 的一条一类边，系数为 \(-1\)；否则视为选择了任意一条 \(i\rightarrow j\) 的边，系数为 \(1\)（由于有 \(deg_i\) 种方案所以符合式子）。

可以发现所有 \(-1\) 边形成若干个环，所有 \(1\) 边形成若干个环和一棵以 \(1\) 为根的内向树。

我们不希望图中能存在环，于是考虑将某个 \(-1\) 环的贡献和对应的 \(1\) 环的贡献抵消掉。设其环长为 \(l\)，则给它一个 \((-1)^{(l-1)}\) 的系数，发现就能顺利抵消了。

于是我们只需要证明：所有非自环的 \((l-1)\) 之和的奇偶性与 \(\tau(p)\) 的奇偶性相同。

注意对于一个环，交换任意两个元素后变成两个环，\(\sum(l-1)\) 减少 \(1\)；对于排列，交换任意两个数后逆序对的奇偶性改变。

于是可以一直交换，直到最后变成环都是自环，排列为 \(1\sim n\)，得证。