LG8768 题解

题意

传送门

求长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 的个数对 \(998244353\) 取模的结果，其中 \(a\) 满足：

• \(a_1=w\)
• \(a_{i-1}+L\le a_i\le a_{i-1}+R\ (\forall i\in[2,n])\)
• \(a_y=za_x\)

\(1\le n\le 5\times 10^5,1\le w\le 10^9,0\le L\le R\le 40,1\le x<y\le n,0\le z\le 10^9\)。

题解

学到一个技巧，来记一下。

随便推一下，就是求 \(\text{OGF}\) \((\sum\limits_{i=0}^{R-L}x^i)^n\) 的各项系数。其长度为 \(2\times10^7\) 级别，不能 \(O(n\log n)\)。这里需要一种 \(O(n)\) 解法。

我们设 \(F(x)=(\sum\limits_{i=0}^{k-1}x^i)^n=(\frac{x^k-1}{x-1})^n\)。这里主要利用后面那个等式。

\[\begin{aligned}
F'(x)&=\left(\left(\frac{x^k-1}{x-1}\right)^n\right)'\\
&=n\left(\frac{x^k-1}{x-1}\right)^{n-1}\cdot\frac{kx^k-kx^{k-1}-x^k+1}{(x-1)^2}\\
&=nF(x)\cdot\frac{kx^k-kx^{k-1}-x^k+1}{(x-1)(x^k-1)}\\
(x^{k+1}-x^k-x+1)F'(x)&=(nkx^k-nkx^{k-1}-nx^k+n)F(x)
\end{aligned}
\]

左右提取 \([x^m]\) 即可得到线性递推式。

此题技巧在于对一个 \(\text{OGF}\) 的两种表达形式求导。