Dinic的几种复杂度

学了那么久网络流才发现自己不知道 Dinic 算法的一个在各边容量均为 \(1\) 的网络时复杂度上的结论。我说为啥学术社区那题优化建图复杂度是对的呢……

以下均认为使用了当前弧优化与多路增广。

以下认为 \(n\) 为点数，\(m\) 为边数，\(n=O(m)\)。

以下考虑的复杂度均为 \(O(\text{增广轮数}\times\text{单轮增广复杂度})\)，这个显然是一个合法上界。

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一般网络：\(O(n^2m)\)

对于一般网络，增广轮数显然为 \(O(n)\)，因为每轮终点层数递增。

对于单轮增广复杂度，在不限制容量范围时，不会超过 \(O(nm)\)：对于每个状态的当前弧，只会消耗 \(O(n)\) 的时间找到一组合法增广路；而当前弧状态数不会超过 \(O(m)\)。

因此，对于一般网络，其复杂度为 \(O(n^2m)\)。

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关于值域的增广轮数上界：\(O(\sqrt{\sum_p\min\{d^{in}_p,d^{out}_p\}})\)

假设每个点 \(p\) 的出边容量和为 \(d^{out}_p\)，入边容量和为 \(d^{in}_p\)，定义

\[S=\sum_p\min\{d^{in}_p,d^{out}_p\}
\]

则增广轮数不会超过 \(\sqrt S\)。

如果在 \(\sqrt S\) 轮内已经结束，显然就是 \(O(\sqrt S)\) 的。

假设已经经过了 \(\sqrt S\) 轮，则到达汇点的增广路长度，也即在残量网络上的最短路长度，接下来不会低于 \(\sqrt S\)。

假设接下来几轮中我们还要流 \(d\) 条增广路，则由于除源汇外每个点最多属于 \(\min\{d^{in}_p,d^{out}_p\}\) 条有流量的路径，在当前残量网络中存在一种取 \(d\) 条路径（不是增广路）的方案。于是残量网络上起点到终点最短路为 \(O(\frac Sd)\) 的。

于是，\(d=O(\sqrt S)\)，所以最多再流 \(O(\sqrt S)\) 轮，增广轮数即为 \(O(\sqrt S)\) 的。

因此增广轮数是 \(O(\sqrt S)\) 的。

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各边容量均为 \(1\) 的网络：\(O(m\min\{m^{\frac12},n^{\frac23}\})\)

接下来我们考虑的是各边容量均为 \(1\) 的网络。

对于单轮增广复杂度，考虑到每条边会被访问不超过一次，单轮复杂度为 \(O(m)\) 的。

增广轮数是 \(O(\sqrt m)\) 的：\(S=O(m)\)。

增广轮数是 \(O(n^{\frac23})\) 的：这个比较高明，推导比较复杂，咕了。

因此，对于各边容量均为 \(1\) 的网络，其复杂度为 \(O(m\min\{m^{\frac12},n^{\frac23}\})\)。

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单位网络：\(O(m\sqrt n)\)

单位网络是一类特殊的各边容量均为 \(1\) 的网络，满足除源汇外各点入度不超过 \(1\) 或出度不超过 \(1\)。

显然单轮增广复杂度还是 \(O(m)\) 的。

考虑增广轮数，\(S=O(n)\)，因此增广轮数是 \(O(\sqrt n)\) 的。

因此，对于单位网络，其复杂度为 \(O(m\sqrt n)\)。

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在稀疏图、稠密图上的分析

	稀疏图（\(m\sim n\)）	稠密图（\(m\sim n^2\)）
一般网络	\(O(n^3)\)	\(O(n^4)\)
各边容量均为 \(1\) 的网络	\(O(n\sqrt n)\)	\(O(n^{\frac83})\)
单位网络	\(O(n\sqrt n)\)	\(O(n^{\frac52})\)

在稀疏图上，各边容量均为 \(1\) 的网络的效率比较明显，\(n\) 可以取到 \(2\times10^5\) 左右。

在稠密图上，三者的差异就更大了。（不过复杂度一般卡不满）