【bzoj1178】 Apio2009—CONVENTION会议中心

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1178 (题目链接)

题意

　　给出n个区间，问在区间两两不相交的情况下最多能选出多少区间，并输出字典序最小的方案。

Solution

　　考试看错题，，还有60分。。很巧妙的一道题。

　　如果只有第一问，相信大家都会做，直接左端点排序然后从左往右扫一遍贪心即可。这道题的难点就在于如何求字典序最小的方案。

　　我们考虑这样一种构造方法，每次检查将区间T加入答案集会不会使答案更差，如果不会，那么就将它加入。这样子的构造显然是正确的，于是我们从1 for到n，如果能将当前区间加入，就将它加入，这样子一定能够保证字典序最小。

　　考虑怎么判断是否答案会更差。做好准备工作，先将区间按照左端点排序，去掉相互包含的区间，这样情况会更好讨论。我们将已经选好的X个区间加入一棵平衡树中，然后在平衡树中分别查找位于即将插入的区间${T[l,r]}$左侧的区间${L[ll,lr]}$和右侧的区间${R[rl,rr]}$，那么插入区间${T}$所能够影响到的范围也就是${[ll+1,rl-1]}$；设${s[i][j]}$为从${i}$到${j}$的范围内最多能选多少区间，那么区间T可以选入答案当且仅当$${s[ll+1][rl-1]==s[ll+1][l-1]+s[r+1][rr-1]+1}$$

　　考虑怎么快速计算${s}$，我们可以使用倍增，${next[i][j]}$表示从第${i}$个区间一共选择${2^j}$个区间的最后一个区间下标。于是问题就这么解决了。

细节

　　注意区间端点不能重叠。

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<set>
#define LL long long
#define inf 2147483640
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;

const int maxn=200010;
struct data {
	int l,r;
	friend bool operator < (const data &x,const data &y) {
		return x.r==y.r ? x.l>y.l : x.r<y.r;
	}
}a[maxn],t[maxn];
int X[maxn],Y[maxn],next[maxn][30],L[maxn],R[maxn],n,m;

int cal(int l,int r) {
	int x=lower_bound(X+1,X+1+m,l)-X;
	if (Y[x]>r || x>m) return 0;
	int res=1;
	for (int i=20;i>=0;i--) if (next[x][i] && Y[next[x][i]]<=r) res+=1<<i,x=next[x][i];
	return res;
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&t[i].l,&t[i].r),a[i]=t[i];
	sort(t+1,t+1+n);
	m=0;
	for (int i=1;i<=n;i++) if (m==0 || t[i].l>t[m].l) t[++m]=t[i];
	for (int i=1;i<=m;i++) X[i]=t[i].l,Y[i]=t[i].r;
	for (int i=1,j=1;i<=m;i++) {
		while (j<=m && t[j].l<=t[i].r) j++;
		if (j<=m) next[i][0]=j;
	}
	for (int j=1;j<=20;j++)
		for (int i=1;i<=m;i++) next[i][j]=next[next[i][j-1]][j-1];
	int ans;
	printf("%d\n",ans=cal(-inf,inf));
	set<data> s;
	s.insert((data){inf,inf});
	s.insert((data){-inf,-inf});
	int cnt=0;
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		set<data>::iterator x=s.lower_bound(a[i]),y=x;y--;
		int l1=y->r,r1=a[i].l,l2=a[i].r,r2=x->l;
		if (l1>=r1 || l2>=r2) continue;
		if (cal(l1+1,r2-1)==cal(l1+1,r1-1)+cal(l2+1,r2-1)+1) {
			if (++cnt==ans) printf("%d",i);
			else printf("%d ",i);
			s.insert(a[i]);
		}
	}
	return 0;
}