【LOJ6060】「2017 山东一轮集训 Day1 / SDWC2018 Day1」Set（线性基）

点此看题面

大致题意： 让你把\(n\)个数分成两部分，使得在两部分异或和之和最大的前提下，两个异或和中较小的那个尽量小。输出最优的较小异或和。

线性基

关于线性基，可以看一下这篇博客：线性基入门。

解题思路

首先，做这题要有一定的位运算常识。

我们求出所有数的异或和，记作\(s\)。

则对于\(s\)二进制下每一位，我们进行分类讨论：

• 如果这一位是\(1\)。则划分出的两个集合的异或和这一位必然分别是\(0\)或\(1\)，即：两个集合中这一位之和是固定不变的。
• 如果这一位是\(0\)。则划分出的两个集合的异或和这一位必然是全\(0\)或全\(1\)。

既然我们要让总和最大，由于\(1\)位上的总和不变，则显然应该先去考虑\(0\)位，使\(0\)位尽量为两个\(1\)。

然后，借助线性基的思想，我们修改一下线性基的操作方式，就可以轻松求解此题啦。

对于插入

对于插入，由于我们刚刚已经总结出使\(0\)位尽量为两个\(1\)，因此，我们在插入时要优先考虑\(0\)位。

具体实现时，就是先对\(0\)位从高到低扫一遍判断是否可以插入，然后对\(1\)位从高到低扫一遍判断是否可以插入。

先扫\(0\)我们就相当于把每个最后插入到\(1\)位的数的\(0\)位全变成了\(0\)，使得操作\(1\)位不会影响到\(0\)位，为后面的询问奠定了基础。

对于询问

我们先从高到低扫一遍\(0\)位，如果当前\(ans\)这一位上是\(0\)，则我们尽量使其为\(1\)。

由于这一位上的数要么二进制下这一位是\(1\)（可以把\(ans\)这一位上变成\(1\)），要么这个数就是\(0\)（异或\(0\)没有任何影响），因此直接将\(ans\)异或上当前这一位的数即可。

然后从高到低扫一遍\(1\)位，如果\(ans\)这一位是\(1\)，由于我们要让这个数尽量小，就异或上当前这一位的数即可（理由同上）。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define RL Reg LL
#define Con const
#define CI Con int&
#define CL Con LL&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define LL long long
using namespace std;
int n;LL s,a[N+5];
class FastIO
{
	private:
		#define FS 10000
		#define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)
		#define tn (x<<3)+(x<<1)
		#define D isdigit(c=tc())
		char c,*A,*B,FI[FS];
	public:
		I FastIO() {A=B=FI;}
		Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=tn+(c&15),D);}
		Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
}F;
class LinearBasis//线性基
{
	private:
		#define P 60
		LL v[P+5];
	public:
		#define ins() {if(!v[i]) return (void)(v[i]=x);x^=v[i];}
		I void Insert(RL x)
		{
			RI i;for(i=P;~i;--i) if(!(s>>i&1)&&x>>i&1) ins();//优先考虑0位
			for(i=P;~i;--i) if(s>>i&1&&x>>i&1) ins();
		}
		I LL Query()
		{
			RI i;RL ans=0;for(i=P;~i;--i) !(s>>i&1)&&!(ans>>i&1)&&(ans^=v[i]);//尽量使0位变成1
			for(i=P;~i;--i) s>>i&1&&ans>>i&1&&(ans^=v[i]);return ans;//尽量使1位更小
		}
}B;
int main()
{
	RI i;for(F.read(n),i=1;i<=n;++i) F.read(a[i]),s^=a[i];//统计所有数异或和
	for(i=1;i<=n;++i) B.Insert(a[i]);return printf("%lld",B.Query()),0;//求解并输出答案
}