CF1097D Makoto and a Blackboard 质因数分解 DP

Hello 2019 D

题意：

　　给定一个n，每次随机把n换成它的因数，问经过k次操作，最终的结果的期望。

思路：

　　一个数可以表示为质数的幂次的积。所以对于这个数，我们可以分别讨论他的质因子的情况。

　　假设质因子x的指数是j，那么这个质因子下一步可以变到的情况就有（j+1）种可能，利用概率DP算出k步操作后每个x的不同幂次的概率，然后求出期望。

　　把每个质因子的情况算出来的期望乘起来即可。

　　

#include <algorithm>
#include  <iterator>
#include  <iostream>
#include   <cstring>
#include   <cstdlib>
#include   <iomanip>
#include    <bitset>
#include    <cctype>
#include    <cstdio>
#include    <string>
#include    <vector>
#include     <stack>
#include     <cmath>
#include     <queue>
#include      <list>
#include       <map>
#include       <set>
#include   <cassert>

using namespace std;
#define lson (l , mid , rt << 1)
#define rson (mid + 1 , r , rt << 1 | 1)
#define debug(x) cerr << #x << " = " << x << "\n";
#define pb push_back
#define pq priority_queue

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
//typedef __int128 bll;
typedef pair<ll ,ll > pll;
typedef pair<int ,int > pii;
typedef pair<int,pii> p3;

//priority_queue<int> q;//这是一个大根堆q
//priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;//这是一个小根堆q
#define fi first
#define se second
//#define endl '\n'

#define OKC ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0)
#define FT(A,B,C) for(int A=B;A <= C;++A)  //用来压行
#define REP(i , j , k)  for(int i = j ; i <  k ; ++i)
#define max3(a,b,c) max(max(a,b), c);
#define min3(a,b,c) min(min(a,b), c);
//priority_queue<int ,vector<int>, greater<int> >que;

const ll mos = 0x7FFFFFFF;  //
const ll nmos = 0x80000000;  //-2147483648
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll inff = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; //
const int mod = 1e9+;
const double esp = 1e-;
const double PI=acos(-1.0);
const double PHI=0.61803399;    //黄金分割点
const double tPHI=0.38196601;

template<typename T>
inline T read(T&x){
    x=;int f=;char ch=getchar();
    while (ch<''||ch>'') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
    while (ch>=''&&ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
    return x=f?-x:x;
}
/*-----------------------showtime----------------------*/
            const int maxn = 1e4+;
            ll dp[maxn][],inv[];
            ll n; int k;

            ll cal(ll a,int n){
                memset(dp, , sizeof(dp));
                dp[][n] = ;

                for(int i=; i<k; i++){
                    for(int j=; j<=n; j++){
                        for(int t=; t<=j; t++){
                            dp[i+][t] =(dp[i+][t] + dp[i][j] * inv[j+]%mod)%mod;
                        }
                    }
                }

                ll d = ,sum = ;
                for(int i=; i<=n; i++){
                    sum = (sum + d * dp[k][i])%mod;
                    d = d * a % mod;
                }

                return sum;
            }

int main(){
            cin>>n>>k;
            ll ans = ;
            inv[] = ;
            for(int i=; i<=; i++){
                inv[i] = (mod - mod/i)*inv[mod%i]%mod;
            }

            for(ll i=; i*i<=n; i++){
                if(n%i==){
                    int cnt = ;
                    while(n%i==) n/=i,cnt++;
                    ans = ans * cal(i, cnt)%mod;
                }
            }
            if(n>) ans = ans * cal(n, )%mod;
            cout<<ans<<endl;
            return ;
}