bzoj2095: [Poi2010]Bridges（二分+混合图求欧拉回路）

传送门

这篇题解讲的真吼->这里

首先我们可以二分一个答案，然后把所有权值小于这个答案的都加入图中

那么问题就转化为一张混合图（既有有向边又有无向边）中是否存在欧拉回路

首先

无向图存在欧拉回路，当且仅当图的所有顶点度数都为偶数且图连通。

       有向图存在欧拉回路，当且仅当图的所有顶点入度等于出度且图连通。

那么我们怎么判断混合图的欧拉回路是否存在呢？

我们把无向边的边随便定向，然后计算每一个点的入度和出度。如果有某一个点的入度和出度之差是奇数，那么肯定不存在欧拉回路。

因为欧拉回路要求入度等于出度，也就是总度数为偶数，所以有奇数度点肯定不存在欧拉回路

那么现在每个点的入度和出度之差都是偶数，我们把它除以二，设为$x$，那么，对于每一个点，我们只要改变与它相连的$x$条边的方向改变，它就能保证入度等于出度。如果每个点都能这样，那么这张图就存在一个欧拉回路

那么我们该改变哪些边来让点的出度等于入度呢？首先，有向边不能改变，忽略。然后我们一开始不是把无向边定向了么？那我们就按照定的向构建网络，边长容量$1$。然后新建源点和汇点，如果入度大于出度，则将点向汇点连边，容量为$x$，如果出度大于入度，则将源点向该点连边，容量为$x$。然后我们只要跑一个最大流，看看能否使网络满流。若可以，则有解，否则无解

考虑为什么。我们把网络中每一条满流的边（也就是流量非0的边）反向，就能得到一个每点入度等于出度的欧拉图。因为这个网络满流，所以每一个入度大于出度的点都会有$x$条边进来，把这$x$条边反向就能使它入度等于出度。出度大于入度的点同理。那么，既没和源点连也没和汇点连的点怎么办呢？因为这样的点必定是入度等于出度的，那么在网络流过程中他们属于中间点，那么必定满足流量守恒，所以进来的流量和出去的流量是一样的，那么反向之后仍然保持平衡

解决了

 //minamoto
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #define inf 0x3f3f3f3f
 using namespace std;
 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,:;}
 template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,:;}
 inline int read(){
     #define num ch-'0'
     char ch;bool flag=;int res;
     while(!isdigit(ch=getc()))
     (ch=='-')&&(flag=true);
     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
     (flag)&&(res=-res);
     #undef num
     return res;
 }
 const int N=,M=;
 int head[N],Next[M],ver[M],edge[M],tot;
 int out[N],in[N],u[N],v[N],w1[N],w2[N],sum;
 int dep[N],cur[N];
 int n,m,s,t;
 queue<int> q;
 inline void add(int u,int v,int e){
     ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot,edge[tot]=e;
     ver[++tot]=u,Next[tot]=head[v],head[v]=tot,edge[tot]=;
 }
 bool bfs(){
     memset(dep,-,sizeof(dep));
     while(!q.empty()) q.pop();
     for(int i=s;i<=t;++i) cur[i]=head[i];
     q.push(s),dep[s]=;
     while(!q.empty()){
         int u=q.front();q.pop();
         for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
             int v=ver[i];
             if(dep[v]<&&edge[i]){
                 dep[v]=dep[u]+,q.push(v);
                 if(v==t) return true;
             }
         }
     }
     return false;
 }
 int dfs(int u,int limit){
     if(u==t||!limit) return limit;
     int flow=,f;
     for(int i=cur[u];i;i=Next[i]){
         int v=ver[i];cur[u]=i;
         if(dep[v]==dep[u]+&&(f=dfs(v,min(limit,edge[i])))){
             flow+=f,limit-=f;
             edge[i]-=f,edge[i^]+=f;
             if(!limit) break;
         }
     }
     if(!flow) dep[u]=-;
     return flow;
 }
 int dinic(){
     int flow=;
     while(bfs()) flow+=dfs(s,inf);
     return flow;
 }
 bool check(int mid){
     memset(head,,sizeof(head)),tot=;
     memset(out,,sizeof(out));
     memset(in,,sizeof(in));
     sum=;
     for(int i=;i<=m;++i){
         if(w1[i]<=mid) ++out[u[i]],++in[v[i]];//有向边记入度和出度
         if(w2[i]<=mid) add(u[i],v[i],);//无向边随便定个方向
     }
     for(int i=;i<=n;++i) if(abs(in[i]-out[i])&) return false;
     for(int i=;i<=n;++i){
         int x=in[i]-out[i];
         sum+=x>?x>>:;
         if(x>) add(i,t,x>>);
         if(x<) add(s,i,(-x)>>);
     }
     return dinic()==sum;
 }
 int main(){
     //freopen("testdata.in","r",stdin);
     n=read(),m=read(),s=,t=n+;
     int l=inf,r=-inf;
     for(int i=;i<=m;++i){
         u[i]=read(),v[i]=read(),w1[i]=read(),w2[i]=read();
         if(w1[i]>w2[i]) swap(u[i],v[i]),swap(w1[i],w2[i]);
         cmin(l,w1[i]),cmax(r,w2[i]);
     }
     while(l<=r){
         int mid=l+r>>;
         if(check(mid)) r=mid-;else l=mid+;
     }
     if(!check(l)) puts("NIE");else printf("%d\n",l);
     return ;
 }
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