【题解】Luogu P5400 [CTS2019]随机立方体

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毒瘤计数题

我们设\(dp_i\)表示至少有\(i\)个极大数字的概率，\(ans_i\)表示恰好有\(i\)个极大数的概率，\(mi=Min(n,m,l)\)

易知：

$$dp_i=\sum_{j=i}^{mi} ans_j \tbinom{j}{i}$$

由二项式反演得：

$$ans_i=\sum_{j=i}^{mi} dp_j \tbinom{j}{i} (-1)^{j-i}$$

我就不在此证明（实际是我不会证明）

所以我们只需要快速求出dp数组，就珂以快速得到答案

我们需要利用以下结论：

1.我们会发现当\((x_0,y_0,z_0)\)是极大值点时，\(x=x_0,y=y_0,z=z_0\)三个平面上不珂能再有极大值点且都填上小于\((x_0,y_0,z_0)\)的值，剩下的就像是一个\((n-1)(m-1)(l-1)\)的子问题

2.我们所填的数值是离散化后相对的数值，也就是说，只要选出的数离散化后满足某关系，就是一种合法的状态

设\(g_i\)表示选定了\(i\)个极大值点后影响到的平面的交集的方块数，由结论2可知这时候贡献要乘上\(\tbinom{N}{g_i}(N=nml)\)（下文\(N\)与此时的\(N\)同义）

易知\(g_i=N-(n-i)(m-i)(l-i)\)

设\(f_i\)表示选定\(i\)个极大值点的方案数，易知：

$$f_i=\prod_{j=0}^{i-1}(n-j)(m-j)(l-j)$$

设\(h_i\)表示填充选定了\(i\)个极大值点后影响到的平面的交集的方案数，易知：

$$

\begin{align}

h_i

& = \frac{(g_i-1)!}{g_{i-1}!} \times h_{i-1} \

& = \prod_{j=0}^{i-1} \frac{(g_{j+1}-1)!}{g_j!}

\end{align}

\[
#### 我们这是就珂以求出$dp_i \times N!$了，即至少有$i$个极大数字的种类数，那么$dp_i$也就珂以求出

#### \]

\begin{align}

dp_iN!

& = \tbinom{N}{g_i} f_i h_i (N-g_i)! \

& = \frac{N!}{g_i!(N-g_i)!}f_i \prod_{j=0}^{i-1} \frac{(g_{j+1}-1)!}{g_j!} (N-g_i)! \

& = N! f_i \prod_{j=1}^{i(g_j-1)!\prod_{j=0}}i\frac{1}{g_j!} \

& = N! f_i \prod_{j=1}^i\frac{1}{g_j}

\end{align*}

\[
#### $$dp_i=f_i \prod_{j=1}^i\frac{1}{g_j}\]

这样我们就能快速求出答案了，复杂度为\(O(T Min(n_i,m_i,l_i))\)

#include <bits/stdc++.h>
#define N 5000005
#define mod 998244353
#define getchar nc
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
    register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(register int x)
{
    if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
    static int sta[20];register int tot=0;
    while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
    while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
inline int Min(register int a,register int b)
{
    return a<b?a:b;
}
inline int fastpow(register int a,register int b)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=1ll*res*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int T,n,m,l,k,mi,ans;
int fac[N],invf[N];
int f[N],g[N],invg[N],dp[N];
inline int C(register int m,register int n)
{
    return 1ll*fac[m]*invf[n]%mod*invf[m-n]%mod;
}
int main()
{
    fac[0]=1;
    for(register int i=1;i<N;++i)
        fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    invf[N-1]=fastpow(fac[N-1],mod-2);
    for(register int i=N-1;i;--i)
        invf[i-1]=1ll*invf[i]*i%mod;
    T=read();
    while(T--)
    {
    	n=read(),m=read(),l=read(),k=read();
    	mi=Min(n,Min(m,l));
    	if(k>mi)
    	{
    		puts("0");
    		continue;
        }
        f[0]=1;
        for(register int i=0;i<mi;++i)
        {
            g[i]=1ll*(n-i)*(m-i)%mod*(l-i)%mod;
            f[i+1]=1ll*f[i]*g[i]%mod;
        }
        int fg=1,tot=g[0];
        g[mi]=0;
        for(register int i=1;i<=mi;++i)
        {
            g[i]=(0ll+tot+mod-g[i])%mod;
            fg=1ll*fg*g[i]%mod;
        }
        invg[mi]=fastpow(fg,mod-2);
        for(register int i=mi;i;--i)
            invg[i-1]=1ll*invg[i]*g[i]%mod;
        for(register int i=1;i<=mi;++i)
            dp[i]=1ll*f[i]*invg[i]%mod;
        ans=0;
        for(register int i=k;i<=mi;++i)
            if((i-k)&1)
                ans=(0ll+ans+mod-1ll*C(i,k)*dp[i]%mod)%mod;
            else
                ans=(0ll+ans+1ll*C(i,k)*dp[i]%mod)%mod;
        write(ans),puts("");
    }
    return 0;
}