【BZOJ3529】[SDOI2014] 数表（莫比乌斯反演）

大致题意： 规定一个$n*m$数表中每个数为$\sum_{d|i,d|j}d$，求数表中不大于$a$的数之和。

不考虑限制

我们先不考虑限制，来推一波式子。

首先，易知数表中第$i$行第$j$列的数应该是$\sigma(gcd(i,j))$。

则和就为：

\[\sum_{d=1}^{min(n,m)}\sigma(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}[gcd(i,j)=1]
\]

而$[gcd(i,j)=1]$可以化成$\sum_{p|gcd(i,j)}\mu(p)$，若枚举$p$，就得到：

\[\sum_{d=1}^{min(n,m)}\sigma(d)\sum_{p=1}^{\lfloor\frac{min(n,m)}d\rfloor}\mu(p)\lfloor\frac n{dp}\rfloor\lfloor\frac m{dp}\rfloor
\]

设$g=dp$，调整枚举顺序得到：

\[\sum_{g=1}^{min(n,m)}\lfloor\frac n{dp}\rfloor\lfloor\frac m{dp}\rfloor\sum_{d|g}\sigma(d)\mu(\frac gd)
\]

离线处理限制

考虑上面的式子只有当$\sigma(d)\le a$时才会被计算答案。

则我们考虑设$T(g)=\sum_{d|g}\sigma(d)\mu(\frac gd)$，一开始全为$0$。

然后我们按照$a$从小到大枚举询问，每次将$\sigma(d)\le a$的$d$在$10^5$范围内的倍数所对应的$T(g)$全都加上$\sigma(d)\mu(\frac gd)$。

但注意到询问时使用除法分块需要求一段区间的$T$值和，则我们用树状数组维护就可以了。

关于取模的细节

注意，这里的取模是向$2^{31}$取模，则我们可以考虑先开$unsigned\ int$计算答案，最后再将其向$2^{31}$取模

代码

#include<bits/stdc++.h>

#define Tp template<typename Ty>

#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>

#define Reg register

#define RI Reg int

#define Con const

#define CI Con int&

#define I inline

#define W while

#define N 100000

#define Q 20000

#define MxS 500000

#define UI unsigned

#define RU Reg unsigned

#define CU Con unsigned&

#define LL long long

#define Gmax(x,y) (x<(y)&&(x=(y)))

#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))

#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))

#define pb push_back

#define IT vector<int>::iterator

using namespace std;

int Qt,Qans[Q+5];vector<int> s[MxS+5];

struct Query//询问

{

	int x,y,v,pos;I Query(CI a=0,CI b=0,CI z=0,CI p=0):x(a),y(b),v(z),pos(p){}

	I bool operator < (Con Query& o) Con {return v<o.v;}

}q[Q+5];

class FastIO

{

	private:

		#define FS 100000

		#define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)

		#define pc(c) (C==E&&(clear(),0),*C++=c)

		#define tn (x<<3)+(x<<1)

		#define D isdigit(c=tc())

		int T;char c,*A,*B,*C,*E,FI[FS],FO[FS],S[FS];

	public:

		I FastIO() {A=B=FI,C=FO,E=FO+FS;}

		Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=tn+(c&15),D);}

		Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}

		Tp I void write(Ty x) {W(S[++T]=x%10+48,x/=10);W(T) pc(S[T--]);}

		Tp I void writeln(Con Ty& x) {write(x),pc('\n');}

		I void clear() {fwrite(FO,1,C-FO,stdout),C=FO;}

}F;

class LinearSiever//线性筛

{

	private:

		int Pt,P[N+5],Mn[N+5];

		I LL Qpow(LL x,LL y) {LL t=1;W(y) y&1&&(t*=x),x*=x,y>>=1;return t;}//快速幂

	public:

		int MxSigma,sigma[N+5],mu[N+5];

		I void Sieve(CI S)

		{

			RI i,j,x,t;for(mu[1]=1,i=2;i<=S;++i)//筛mu，筛最小质因数用于求sigma

			{

				!Mn[i]&&(mu[P[++Pt]=i]=-1,Mn[i]=i);

				for(j=1;j<=Pt&&1LL*i*P[j]<=S;++j)

					if(Mn[i*P[j]]=P[j],i%P[j]) mu[i*P[j]]=-mu[i];else break;

			}

			for(sigma[1]=1,i=2;i<=S;++i)//求sigma

			{

				x=i,t=0;W(!(x%Mn[i])) x/=Mn[i],++t;

				sigma[i]=sigma[x]*((Qpow(Mn[i],t+1)-1)/(Mn[i]-1)),Gmax(MxSigma,sigma[i]);

			}

		}

}L;

class TreeArray//树状数组

{

	private:

		#define lowbit(x) (x&-x)

		UI v[MxS+5];

		I UI QS(RI x) {RU t=0;W(x) t+=v[x],x-=lowbit(x);return t;}//询问前缀

	public:

		I void Add(RI x,CI y) {W(x<=L.MxSigma) v[x]+=y,x+=lowbit(x);}//单点修改

		I UI Qry(CI l,CI r) {return QS(r)-QS(l-1);}//区间查询

}T;

I void Upt(CI x,CI v) {for(RI i=1;1LL*x*i<=N;++i) T.Add(x*i,L.sigma[x]*L.mu[i]);}//更新一个数倍数的值

int main()

{

	RI i,p=1,t,x,y,v,l,r;UI ans;for(L.Sieve(N),i=1;i<=N;++i) s[L.sigma[i]].pb(i);//用桶对sigma值进行排序

	for(F.read(Qt),i=1;i<=Qt;++i) F.read(x,y,v),q[i]=Query(min(x,y),max(x,y),v,i);//读入询问

	for(sort(q+1,q+Qt+1),i=1;i<=Qt;++i)//对询问按a从小到大排序

	{

		W(p<=q[i].v) {for(IT it=s[p].begin();it!=s[p].end();++it) Upt(*it,p);++p;}//更新sigma(d)≤a的d的倍数的T值

		for(ans=0,t=min(q[i].x,q[i].y),l=1;l<=t;l=r+1)//除法分块

			r=min(q[i].x/(q[i].x/l),q[i].y/(q[i].y/l)),ans+=T.Qry(l,r)*(q[i].x/l)*(q[i].y/l);

		Qans[q[i].pos]=ans%(1LL<<31);//存储答案并取模

	}

	for(i=1;i<=Qt;++i) F.writeln(Qans[i]);return F.clear(),0;//输出答案

}