斜率优化板题 HDU2829 Lawrence

• 题目大意：给定一个长度为nnn的序列，至多将序列分成m+1m+1m+1段，每段序列都有权值，权值为序列内两个数两两相乘之和。求序列权值和最小为多少？
• 数据规模：m&lt;=n&lt;=1000.m&lt;=n&lt;=1000.m<=n<=1000.
• 分析：令w[i,j]w[i,j]w[i,j]表示区间[i,j][i,j][i,j]中两两乘积之和,f[i][j]f[i][j]f[i][j]表示前jjj个数分成iii段的最小值。
  
  f[i][j]=f[i−1][k]+w[k+1,j]f[i][j]=f[i-1][k]+w[k+1,j]f[i][j]=f[i−1][k]+w[k+1,j]
  
  w[k+1,j]w[k+1,j]w[k+1,j]可以转换为w[1,j]−w[1,k]−sum[k]∗(sum[j]−sum[k])w[1,j]-w[1,k]-sum[k]*(sum[j]-sum[k])w[1,j]−w[1,k]−sum[k]∗(sum[j]−sum[k])
  
  其中sum[j]sum[j]sum[j]表示前j个数的前缀和。令w[i]=w[1,i]w[i]=w[1,i]w[i]=w[1,i]
  
  f[i][j]=f[i−1][k]+w[j]−w[k]−sum[k]∗(sum[j]−sum[k])f[i][j]=f[i-1][k]+w[j]-w[k]-sum[k]*(sum[j]-sum[k])f[i][j]=f[i−1][k]+w[j]−w[k]−sum[k]∗(sum[j]−sum[k])
  
  y=f[i−1][k]−w[k]+sum[k]2y=f[i-1][k]-w[k]+sum[k]^2y=f[i−1][k]−w[k]+sum[k]2
  
  x=sum[k]x=sum[k]x=sum[k]
  
  k=sum[j]k=sum[j]k=sum[j]
  
  g=f[i][j]−w[j]g=f[i][j]-w[j]g=f[i][j]−w[j]
  
  则有：y−kx=by-kx=by−kx=b
  
  此为直线方程，kkk为定值，要求bbb(w[j]w[j]w[j]为定值)最小，即为直线的截距最小。平面上有若干点(x,y)(x,y)(x,y),这些点是由各个决策点产生的。而将直线从下往上平移，它接触到的第一个点即为最佳决策点。因为斜率bbb是上升的，所以，下一阶段的直线方程斜率更高，于是最佳决策点一定形成了下凸包序列。
  
  还可以用滚动数组…具体见代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1005;
#define LL long long
int n, m, s, t, dq[MAXN];
LL sum[MAXN], w[MAXN], f[2][MAXN];

inline LL Getup(int now, int i, int j) { return (f[now][i] + sum[i]*sum[i] - w[i]) - (f[now][j] + sum[j]*sum[j] - w[j]); }//Yi-Yj
inline LL Getdown(int now, int i, int j) { return sum[i] - sum[j]; }//Xi-Xj

int main ()
{
	int x;
	while(scanf("%d%d", &n, &m), n || m)
	{
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			scanf("%d", &x), sum[i] = sum[i-1] + x, w[i] = w[i-1] + sum[i-1] * x;
		int now = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++) f[now][i] = w[i];
		for(int i = 2; i <= m+1; i++)
		{
			now ^= 1, s = t = 0, dq[t++] = 0;
			for(int j = 1; j <= n; j++)
			{
				while(t-s > 1 && Getup(now^1, dq[s+1], dq[s])  <= sum[j] * Getdown(now^1, dq[s+1], dq[s])) s++;
				f[now][j] = f[now^1][dq[s]] + w[j] - w[dq[s]] - sum[dq[s]] * (sum[j] - sum[dq[s]]);
				while(t-s > 1 && Getup(now^1, j, dq[t-1]) * Getdown(now^1, dq[t-1], dq[t-2]) <= Getup(now^1, dq[t-1], dq[t-2]) * Getdown(now^1, j, dq[t-1])) t--;
				dq[t++] = j;
			}
		}
		printf("%lld\n", f[now][n]);
	}
}