codeforces#253 D - Andrey and Problem里的数学知识

这道题是这种，给主人公一堆事件的成功概率，他仅仅想恰好成功一件。

于是，问题来了，他要选择哪些事件去做，才干使他的想法实现的概率最大。

我的第一个想法是枚举，枚举的话我想到用dfs，但是认为太麻烦。

于是想是不是有什么规律，于是推导了一下，推了一个出来，写成代码提交之后发现是错的。

最后就没办法了，剩下的时间不够写dfs，于是就放弃了。

今天看thnkndblv的代码，代码非常短，于是就想肯定是有什么数学规律，于是看了一下，

果然如此。

是这种，还是枚举，当然是有技巧的，看我娓娓道来。

枚举的话，如果总共同拥有n件事件，

从中选择1件事情去做，实现的概率最大是多少，

选择2件事情去做，实现的概率最大是多少，以此类推到选择n件事情去做。

于是就会得到n个结果，里面最大的那个就是实现主人公想法的最大概率。

这种话要从n件事件中随意选出1件事情然后比概率，随意选出2件事情然后比概率……随意选出n件事情然后比概率

还是要搜索。

可是这里就有数学知识了，能够不用搜索，做法是这种：

将n个事件成功的概率从大到小排序，

然后，

仅仅选择前1件事去做成功的概率就是“从中选择1件事情去做，最大的实现概率”

仅仅选择前2件事去做成功的概率就是“从中选择2件事情去做，最大的实现概率”

以此类推。

有了这个，这道题就非常easy了，至于为什么这样做能够，无法证明，假设有人证明的话，欢迎留言讨论，附上原题以及地址和我后来AC的代码例如以下：

http://codeforces.com/contest/443/problem/D

D. Andrey and Problem

time limit per test

2 seconds

memory limit per test

256 megabytes

input

standard input

output

standard output

Andrey needs one more problem to conduct a programming contest. He has
n friends who are always willing to help. He can ask some of them to come up with a contest problem. Andrey knows one value for each of his fiends — the probability that this friend will come up with a problem if Andrey asks him.

Help Andrey choose people to ask. As he needs only one problem, Andrey is going to be really upset if no one comes up with a problem or if he gets more than one problem from his friends. You need to choose such a set of people that maximizes the chances
of Andrey not getting upset.

Input

The first line contains a single integer n
(1 ≤ n ≤ 100) — the number of Andrey's friends. The second line contains
n real numbers p_i
(0.0 ≤ p_i ≤ 1.0) — the probability that the
i-th friend can come up with a problem. The probabilities are given with at most 6 digits after decimal point.

Output

Print a single real number — the probability that Andrey won't get upset at the optimal choice of friends. The answer will be considered valid if it differs from the correct one by at most
10^- 9.

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
bool cmp(double a,double b)
{
	return a>b;
}
int main()
{
	int n,i,j,k;
	double a[110],x,sum,MAX;
	scanf("%d",&n);
	for(i=0;i<n;i++)
		scanf("%lf",&a[i]);
	sort(a,a+n,cmp);
	MAX=0;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		sum=0;
		for(j=0;j<i;j++)
		{
			x=a[j];
			for(k=0;k<i;k++)
			{
				if(j!=k)
					x*=1-a[k];
			}
			sum+=x;
		}
		MAX=max(sum,MAX);
	}
	printf("%.12lf\n",MAX);
}