UVA106 - Fermat vs. Pythagoras

假设x为奇数，y为偶数，则z为奇数，2z与2x的最大公因数为2，2z和2x可分别写作

• 2z = (z + x) + (z - x)
• 2x = (z + x) - (z - x)

那么跟据最大公因数性质，z + x和z - x的最大公因数也为2，又因为：

• (z + x)(z - x) = y²，两边同除以4得：
  ((z + x) / 2)((z - x) / 2) = (y / 2)²

故可令：

• z + x = 2m², z - x = 2n²
  其中z = m + n, x = m - n（m与n互质）

则有：

• y² = z² - x² = 2m²2n² = 4m²n²
  即y = 2mn。

综上所述，可得到下式：

• x = m² - n², y = 2mn, z = m² + n². (m, n为任意自然数)

这里还有一个问题：题目要求统计(x, y, z)三元组的数量时只统计x，y和z两两互质的的情况，这个问题用上面的算法就可以解决了。但对于统计p的数量，题目并不限定三元组是两两互质的。但是上式不能生成所有x, y, z并不是两两互质的情况。然而假设x与y最大公因数w不为1，则z也必能被w整除，因此w为x, y, z三个数的公因数。归纳总结可知，所有非两两互质的x₀, y₀, z₀都可由一组互质的x, y, z乘以系数得到。根据以上理论就可以快速的求解了。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #define MAX 1000010
 using namespace std;
 bool vis[MAX];
 int prime[MAX][],n;
 int gcd(int a, int b)
 {
     return b ==  ? a : gcd(b, a%b);
 }
 int upper(int l, int r, int v)
 {
     int m;
     while (l < r)
     {
         m = l + (r - l) / ;
         if (prime[m][] <= v) l = m + ;
         else r = m;
     }
     return r;
 }
 int cmp(const void*a, const void*b)
 {
     return ((int*)a)[] - ((int*)b)[];
 }
 int main()
 {
     int i,j,z,x,y,k=;
     int imax = int(sqrt(MAX >> )+0.5),jmax;
     for (i = ; i <= imax; i++)
     {
         jmax = int(sqrt(MAX - i*i) + 0.5);
         for (j = i + ; j <= jmax; j++)
             if ((i & ) + (j &  )==  && gcd(i, j) == )//(i&1)+(j&1)==1 一奇一偶
             {
                 y =  * i*j;
                 z = i*i + j*j;
                 x = j*j - i*i;
                 if (x*x+y*y==z*z&&z<=)
                 {
                     prime[k][] = x;
                     prime[k][] = y;
                     prime[k++][] = z;
                 }
             }
     }
     qsort(prime,k,sizeof(prime[]),cmp);
     while (scanf("%d", &n) == )
     {
         int a = upper(, k, n);
         memset(vis, , n + );
         for (i = ; i < a; i++)
             for (j = ; j*prime[i][] <= n; j++)
             {
                 vis[j*prime[i][]] = ;
                 vis[j*prime[i][]] = ;
                 vis[j*prime[i][]] = ;
             }
         int count = ;
         for (i = ; i <= n; i++)
             if (!vis[i]) count++;
         printf("%d %d\n", a, count);
     }
     return ;
 }