BZOJ1390 CEOI2008 Fences 凸包、Floyd最小环/DP

传送门

---

为了方便描述把固定点叫做白色点，Tree叫做黑色点

一种基于特殊性质的做法：

如果不算入选白色的权值，那么一定会选中所有白色点构成的凸包上的点，因为能够尽可能围更多的黑色点。然后我们在这个基础上删凸包上无用的白色点，就可以使得在围住尽可能多的黑色点的情况下白色点最少。

但是是否这就是最优解？我们考虑舍弃围住一个黑色点的情况。因为如果某个黑点在凸包中，那么一定存在三个凸包上的白色点，它们构成的三角形围住这个黑色点，使用三角剖分不难证明。所以舍弃一个黑色点最多只会舍弃三个白色点，而\(111 > 3 \times 20\)，所以舍弃黑色点是不优的。

所以我们必须要在围住尽可能多的黑色点的情况下选择尽可能少的白色点。

我们认为凸包由其上所有点逆时针旋转构成，意味着对于一个向量\(i \rightarrow j\)，如果它可能作为凸包的一部分，那么在上面求出的凸包中包含的所有黑点都在当前向量的左半平面内。

不妨设\(f_{i,j}=1\)表示向量\(i \rightarrow j\)可能作为凸包的一部分，那么我们要求的就是一个最小环，Floyd求最小环即可。

时间复杂度\(O(N^3)\)，代码在下面

---

还有一种不基于\(20\)和\(111\)的DP做法

设\(f_{j,k}\)表示当前凸包中上凸包边界点为\(j\)、下凸包边界点为\(k\)时的最小权值，转移找到一个新的点\(l\)：\(f_{j,l} = f_{j,k} + 20 - 111 * in_{j,k,l}\)，其中\(in_{i,j,k}\)表示点\(i,j,k\)构成的三角形中黑点数量

算\(in_{i,j,k}\)只需要算\(num_{i,j}\)表示端点为点\(i,j\)的线段下端的黑点数量然后稍微容斥一下即可。

代码没有

---

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
//This code is written by Itst
using namespace std;

struct vec{
    int x , y;
    vec(int _x = 0 , int _y = 0) : x(_x) , y(_y){}
    vec operator +(vec a){return vec(x + a.x , y + a.y);}
    vec operator -(vec a){return vec(x - a.x , y - a.y);}
    int operator %(vec a){return x * a.y - y * a.x;}
    bool operator <(const vec a)const{return x < a.x || (x == a.x && y < a.y);}
}blk[107] , wht[107];
int stk[107] , ind[107] , floyd[107][107];
int N , M , top , cnt , sum;
bool in[107];

void create(){
    sort(blk + 1 , blk + N + 1);
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i){
        while(top > 1 && ((blk[i] - blk[stk[top - 1]]) % (blk[stk[top]] - blk[stk[top - 1]])) >= 0) --top;
        stk[++top] = i;
    }
    for(int i = 1 ; i <= top ; ++i) ind[++cnt] = stk[i];
    top = 0;
    for(int i = N ; i ; --i){
        while(top > 1 && ((blk[i] - blk[stk[top - 1]]) % (blk[stk[top]] - blk[stk[top - 1]])) >= 0) --top;
        stk[++top] = i;
    }
    for(int i = 2 ; i < top ; ++i) ind[++cnt] = stk[i];
    ind[++cnt] = ind[1];
}

void init(){
    for(int i = 1 ; i <= M ; ++i){
        bool f = 1;
        for(int j = 1 ; f && j < cnt ; ++j)
            f = (blk[ind[j + 1]] - blk[ind[j]]) % (wht[i] - blk[ind[j]]) > 0;
        if(!f) sum += 111;
        else in[i] = 1;
    }
}

bool check(int x , int y){
    for(int i = 1 ; i <= M ; ++i)
        if(in[i] && (blk[y] - blk[x]) % (wht[i] - blk[x]) < 0)
            return 0;
    return 1;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("C.in","r",stdin);
    freopen("C.out","w",stdout);
#endif
    cin >> N >> M;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) cin >> blk[i].x >> blk[i].y;
    for(int i = 1 ; i <= M ; ++i) cin >> wht[i].x >> wht[i].y;
    create(); init();
    if(sum == 111 * M){
        cout << sum;
        return 0;
    }
    memset(floyd , 1 , sizeof(floyd));
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
        for(int j = 1 ; j <= N ; ++j)
            if(i != j && check(i , j))
                floyd[i][j] = 1;
    int ans = 1e9;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
        for(int j = 1 ; j <= N ; ++j)
            for(int k = 1 ; k <= N ; ++k)
                if(j != i && k != i)
                floyd[j][k] = min(floyd[j][k] , floyd[j][i] + floyd[i][k]);
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) ans = min(ans , floyd[i][i]);
    cout << ans * 20 + sum;
    return 0;
}