【vijos1780】【NOIP2012】开车旅行 倍增

题目描述

　　有\(n\)个城市，第\(i\)个城市的海拔为\(h_i\)且这\(n\)个城市的海拔互不相同。编号比较大的城市在东边。两个城市\(i,j\)之间的距离为\(|h_i-h_j|\)

　　小A和小B要开车去旅行。小A先开，他们会轮流开车。小A会把车开到第二近的城市，小B会把车开到最近的城市。如果当前城市到两个城市的距离相同，则认为海拔低的城市比较近。他们只会把车往东边开（即编号大的那边）。

　　小A会先问你对于一个给定的\(x=x_0\)，从哪一个城市出发，小A开车行驶的路程总数与小B行驶的路程总数的比值最小（如果小B的行驶路程为\(0\)，此时的比值可视为无穷大，且两个无穷大视为相等）。如果从多个城市出发，小A开车行驶的路程总数与小B行驶的路程总数的比值都最小，则输出海拔最高的那个城市。

　　他还会问你\(m\)次。每次要你求出对给定的\(x=x_i\) 和出发城市\(s_i\)，小A开车行驶的路程总数以及小B行驶的路程总数。

　　\(n\leq 100000,m\leq 10000\)

题解

　　先用set求出当前在第\(i\)个城市时小A会把车开到哪个城市和小B会把车开到那个城市。

　　然后倍增。\(fa_{i,j}\)表示当前在第\(i\)个城市时开\(2^j\)轮（小A和小B各开一次算一轮）后小A开车的距离，\(f_b{i,j}\)表示当前在第\(i\)个城市时开\(2^j\)轮后小B开车的距离。\(g_{i,j}\)表示当前在第\(i\)个城市时开\(2^j\)轮后会到达哪里。

　　现在我们要求当前在第\(s\)个城市，开不超过\(x\)公里，小A开车的路程和小B开车的路程。显然直接倍增就可以了，还要加上不满一轮的情况，即开若干轮后小A再开一次。

　　第一问直接枚举起点，计算答案。

　　第二问直接计算答案。

　　时间复杂度：\(O((n+m)\log n)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,int> pli;
ll h[100010];
set<pli> ht;
int na[100010];
int nb[100010];
ll fa[100010][20];
ll fb[100010][20];
int g[100010][20];
int getmin(ll v)
{
	if(ht.size()==0)
		return -1;
	set<pli>::iterator p=ht.lower_bound(pli(v,0));
	if(p==ht.begin())
		return p->second;
	if(p==ht.end())
	{
		p--;
		return p->second;
	}
	pii s1=*p;
	s1.first-=v;
	p--;
	pii s2=*p;
	s2.first=v-s2.first;
	if(s1.first<s2.first)
		return s1.second;
	return s2.second;
}
struct p
{
	int x;
	double s;
};
double inf=1e100;
int main()
{
	freopen("vijos1780.in","r",stdin);
	freopen("vijos1780.out","w",stdout);
	int n;
	scanf("%d",&n);
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&h[i]);
	for(i=n;i>=1;i--)
	{
		nb[i]=getmin(h[i]);
		if(nb[i]==-1)
			na[i]=-1;
		else
		{
			ht.erase(ht.find(pii(h[nb[i]],nb[i])));
			na[i]=getmin(h[i]);
			ht.insert(pii(h[nb[i]],nb[i]));
		}
		ht.insert(pii(h[i],i));
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
		if(na[i]==-1)
		{
			g[i][0]=i;
			fa[i][0]=fb[i][0]=0;
		}
		else if(nb[na[i]]==-1)
		{
			g[i][0]=na[i];
			fa[i][0]=abs(h[i]-h[na[i]]);
			fb[i][0]=0;
		}
		else
		{
			g[i][0]=nb[na[i]];
			fa[i][0]=abs(h[i]-h[na[i]]);
			fb[i][0]=abs(h[na[i]]-h[nb[na[i]]]);
		}
	for(j=1;j<=19;j++)
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			g[i][j]=g[g[i][j-1]][j-1];
			fa[i][j]=fa[i][j-1]+fa[g[i][j-1]][j-1];
			fb[i][j]=fb[i][j-1]+fb[g[i][j-1]][j-1];
		}
	int k;
	ll x0;
	scanf("%lld",&x0);
	p ans;
	ans.x=-1;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		ll sa=0,sb=0;
		j=i;
		ll s=0;
		for(k=19;k>=0;k--)
			if(fa[j][k]+fb[j][k]+s<=x0)
			{
				s+=fa[j][k]+fb[j][k];
				sa+=fa[j][k];
				sb+=fb[j][k];
				j=g[j][k];
			}
		if(na[j]!=-1&&s+abs(h[j]-h[na[j]])<=x0)
			sa+=abs(h[j]-h[na[j]]);
		double si;
		if(!sb)
			si=inf;
		else
			si=double(sa)/sb;
		if(ans.x==-1||si<ans.s||(si==ans.s&&h[i]>h[ans.x]))
		{
			ans.x=i;
			ans.s=si;
		}
	}
	printf("%d\n",ans.x);
	int m;
	scanf("%d",&m);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		int x;
		ll x0;
		scanf("%d%lld",&x,&x0);
		j=x;
		ll s=0;
		ll sa=0,sb=0;
		for(k=19;k>=0;k--)
			if(fa[j][k]+fb[j][k]+s<=x0)
			{
				s+=fa[j][k]+fb[j][k];
				sa+=fa[j][k];
				sb+=fb[j][k];
				j=g[j][k];
			}
		if(na[j]!=-1&&s+abs(h[j]-h[na[j]])<=x0)
			sa+=abs(h[j]-h[na[j]]);
		printf("%lld %lld\n",sa,sb);
	}
	return 0;
}