状压DP初探·总结

2018过农历新年这几天，学了一下状态压缩动态规划，现在先总结一下。

 

状态压缩其实是一种并没有改变dp本质的优化方法，阶段还是要照分，状态还是老样子，决策依旧要做，转移方程还是得列，最优还是最优，无后还是无后，所以它比较好理解。

 

状压，顾名思义就是要将一些状压想办法压缩起来（可以压，也可以删）。其中这些状态都满足相似性和数量很多。这样才好压而且压得有意义。常见于一般的方格题，网络题等等。

 

所以一般基础的状压就是将一行的状态压成一个数，这个数的二进制形式反映了这一行的情况。所以位运算可以帮助我们解决很多问题。我看了一篇讲义，感觉挺好的，就直接拿来用了，这里会介绍二进制的基本操作和一些常见用法。

 

这些操作都是在一个数转成二进制的情况下做的，包括按位与&、或|、取反~（注意负数补码的符号）、异或^（不同则真）、左移<<、右移>>。

 

下面是由江苏省淮阴中学薛志坚整理的一些常见操作：

 

接下来就是进行普通dp的操作。

 

不过这里要注意几点

 

初试化状态的时候要看清条件，什么要，什么不要。

 

一般情况下要预处理前k行（k由题目定）。

 

Dp时题目给的条件和fit函数、state数组都要检查。

 

最最重要的一点：位反（~ )  >  算术  >  位左移、位右移  >  关系运算

>  位与  >  位或  >  位异或  >  逻辑运算

所以一般位运算最好打括号。

 

 

讲讲不常规的状压dp。

 

我们要找一个方法将多余的状态给砍掉或者缩成一段。

 

 

 

上例题：

 

 

1、Corn Fields

 

最基础的状压dp，很多时候可以用来作为模板借鉴着做其他题目。

 

详情请看：这里

 

 

2、互不侵犯King

 

好像是优化搜索，其实还是dp，不过这里比t1的条件多了、难了，也比t1多限定了一个国王数量，所以要多存一个国王数量的状态，但是其实还是很基础。

 

详情请看：这里

 

 

3、炮兵阵地

 

这里从一个单行状态变成了双行状态，其他都很模板。

 

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4、过河

 

这是第一道升级的状压，它终于不是普通01串的状态，而是将没用的状态给直接砍掉，再进行dp

 

详情请看：这里

 

 

5、强迫症的炸山

 

这是我同学（一位大佬）lxy出的题，这道看似很简短、很简单的题，做起来却不是那么容易。我甚至还没找到怎么正确地压缩状态。至今未果，以后会慢慢补充。毕竟现在打暴力得了tle，打正解（手动划去）得了re，我也很无奈。

 

 

状压dp其实不止这么简单，我这次学了只是皮毛中的皮毛，状压要捉住怎么压缩状态，加快程序运行，别的就和普通dp一样了。

 

请各位大佬指出错误或补充，谢谢。

 

嗯，就这样了。