【排列组合】ZSC1076: 数学、不容易系列之三——考新郎

国庆期间,省城刚刚举行了一场盛大的集体婚礼,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做"考新郎",具体的操作是这样的:

首先,给每位新娘打扮得几乎一模一样,并盖上大大的红盖头随机坐成一排; 然后,让各位新郎寻找自己的新娘.每人只准找一个,并且不允许多人找一个. 最后,揭开盖头,如果找错了对象就要当众跪搓衣板... 看来做新郎也不是容易的事情... 假设一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能.

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C行数据，每行包含两个整数N和M ( 1 < M <= N <= 20 )。

Output

对于每个测试实例，请输出一共有多少种发生这种情况的可能，每个实例的输出占一行。

Sample Input

2

2 2

3 2

Sample Output

1

3

---

思考过程：

这其实就是一个错排问题＋排列组合问题

首先要从N个新郎当中找出M个找错的。即C（M，N）。其次是对这M组新人进行错排。而且两者之间是乘法原则。

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（1）

N个新郎中M个错一共有几种，显然是C(m,n)=n!/(m!*(n-m)!)。即C(m,n)=n!/m!/(n-m)!

（2）

M个数的错排个数，递推关系：f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2])

详细推导过程：

错排的情况：

首先考虑，如果开始有n-1个新郎，并且这n-1个人都已经完成了错排（有f(n-1)种可能），现在又来了一个人，那么后来的第n个人可以通过用自己的新娘去和那n-1个人中的任意一个交换，来实现n个人都错排。这种情况有(n-1)*f[n-1]种可能;

另外，如果开始的n-1个人不是都错排，那么要想使第n个人过来与其中一个交换后实现错排的话就必须满足两个条件：

①那n-1个人中只有一个人选到了自己的新娘，也就是说有n-2个人都已经错排了。

②第n个人必须和那个选到自己新娘的人去交换，但那个选到自己新娘的人可以是n-1个人中的任意一个。这种情况有(n-1)*f[n-2]种可能。

其他情况都不能满足n个人错排。

因此递推关系：f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2])。

---

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
	long long arr[22];
	arr[0]=1;
	arr[1]=1;
	for(int i=2;i<=20;i++)
	{
		arr[i]=arr[i-1]*i;
	}
	long long num[22];
	num[1]=0;
	num[2]=1;
	for(int i=3;i<=20;i++) num[i]=(i-1)*(num[i-1]+num[i-2]);
    int c;
    cin>>c;
	int n,m;
    while(c--)
    {
        cin>>n>>m;
        long long result=arr[n]/arr[m]/arr[n-m]*num[m];
		cout<<result<<endl;
    }
    return 0;
}