[USACO2005][POJ2228]Naptime(对特殊环状DP的处理)
题目:http://poj.org/problem?id=2228
题意:将一天分为N小时,每小时都有一个价值w,有一头牛要睡觉,而它的睡觉是连续的,且第一小时不能算价值,即如果你睡了[a,b],则你获得的收益是w[a+1]+w[a+2]+……+w[b],而这头牛可以每天多次睡(可以理解成选若干个时间段睡觉),不过每天的睡觉总时间数不能超过B,求能获得的最大总收益。(不过值得注意的是,“1天”并不是从0~N-1,而可以是从任何一个小时开始到n小时之后,即可以从N-1睡到0)
分析:
先不考虑环:
f[i][j][0]表示前I个小时,睡了j个小时,且第I个小时牛是醒着的
f[i][j][1]表示前I个小时,睡了j个小时,且第I个小时牛是睡着的
那么易得
f[0][0][0]=f[0][1][1]=0,其他f[][][]=-inf
f[i][j][0]=max(f[i-1][j][0],f[i-1][j][1])
f[i][j][1]=max(f[i-1][j-1][0],f[i-1][j-1][1]+w[i])
ans=max(f[n-1][B][1],f[n-1][B][0])
但是现在有环,容易想到的是把0~N-1再接到N-1的后面,然后枚举从一个位置开始做N长度的DP,那么总时间复杂度是N^3,肯定是要超时的
不过仔细想想本题环的特点是0和N-1都要睡才会存在环!!!!所以环的本质就是0睡没睡,如果没睡那么很明显就是上面那个式子,那么如果睡了呢?
那么显然ans=f[n-1][B][1],不过前面怎么调整呢
可以f[0][1][1]=w[0],其他f[][][]=-inf,那么就强制达到后面的状态转移比从f[0][1][1]开始,即保证0必睡
总结:一般环状DP是接到后面,不过有的题有例外,要发现本题的特殊处
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