详解OpenGL中的各种变换（投影变换，模型变换，视图变换）（完）——法线变换

前面两节内容已经说完了所有的三种变换。也就是说我们现在程序里面既不需要glLookAt()，也不需要gluPerspective()，这些矩阵我们都可以自己写。然后，再用glMultMatrix()来调用这些矩阵，注意一点就是OpenGL是左乘，前面给出的矩阵都是右乘矩阵，所以调用的时候需要转置，摆放的位置也要注意。当然，如果用shader的话，这些函数也就用不到了，矩阵顺序也可以自己定义。这里所有的变换都是作用在顶点（Vertex）上的，但是还有一类数据需要进行变换，那就是顶点法线。我们在计算光照的时候，需要在顶点上设置顶点发现，顶点经过各种变换，法线肯定也要跟着变。不过法线的变化跟顶点有些许的不同，本文就介绍下法线变换。

　　首先，我们需要知道法线的几个注意的地方：

1. 法线向量是需要进行归一化的，它的长度必须为1.0。
2. 法线向量是表示方向的，跟顶点不一样不是表示位置，所以法线向量只有三个分量，不存在齐次坐标。
3. 法线向量的变换中，一般只有旋转变换和部分缩放变换。因为法线向量表示方向，平移后不变化，而且法线如果等轴缩放，归一化后也不变化，另外，法线主要是计算光照，透视变换也用不到。

　　跟直觉违背的是，法线向量的变换与顶点向量的变换方式是不同的。那么如何变换法线呢？我们首先取出变换矩阵的左上角的3*3矩阵。因为法线向量只需要包含必要的旋转和缩放信息，也可以将物体从模型坐标系变换到眼（相机）坐标系。公式如下：

图1

　　我们现在现在看看为何需要求逆后转置。如图2所示，我们如果直接将法线向量乘以M，就会出现中间的这种情况，其法线分布明显与表面不垂直，而最右边的图才是正确变换后的法向分布。

图2

　　我们接下来证明一下公式。这里假设某一点处的法向量为n，切向量为t，由两者在曲面上的垂直关系可知：

图3

　　假设顶点开始变换，最终的变换矩阵为M，那么变换后的切向量为t'=Mt。切向量可以通过几何分析来验证变换矩阵和顶点是一致的，这里就不详述了。那么我们可以得到变换后的n'和t'之间的关系：

图4

　　我们根据上式可以得到中间两项G^TM=I，所以我们得到最终的发现变换矩阵：

图5

　　这里就介绍完所有的变换矩阵了，真是一个漫长的过程。其实在这些变换后还有一个视口变换，就是将光栅化后的图像映射到窗口中，但由于这一步时管线内部的操作，这次也就没提了。大家可以试着自己写一下各种矩阵，肯定对OpenGL视图和变换这块更加理解。